Приближённое решение диффура: степенной ряд

[Xbaaf]

Имею диффур первого порядка:
$y' = \sin y +x$, к нему прилагатся начальное условие $y(0)=1$.
Ищу решение в виде следующего степенного ряда:
$y=a_0+a_1x+a_2x^2+...$, сразу из начального условия получаю $a_0=1$.
Но дальше неясно: что делать с синусом? Разлагать его тоже в ряд, а потом в этот ряд подставлять ряд для $y$?
Преподаватель, проверявший это задание, написал, что $a_1=\sin 1$, но мне пока неясно, почему это так.

Upd: подумал, что можно решать так:
$y' = \sin y +x \longrightarrow a_1+2a_2x+...=\sin(1+a_1x+...)$. Если эту систему решить в $x=0$, как раз получится $a_1=\sin 1$. Но тогда неясно, как находить $a_2$.
Мысль следующая: используем знание $a_1$, тогда$2a_2=\cos(1+\sin 1+a_2x+...) \cdot(a_1+2a_2x+...) $, и тогда при подстановке$x=0$ получится $a_2=\frac {\cos 1 \cdot \sin 1}{2}.$

Правильно?

[ИСН]

Вам до какой степени ехать?

[Xbaaf]

По заданию - до квадрата. Для себя - до какой угодно

[mihiv]

Представьте $y(x)$ в виде ряда Маклорена, значения производных в 0 можно последовательно находить из ДУ.

[Xbaaf]

Всё, спасибо, сдал. Для справки - $a_2=\frac{\cos 1 \cdot \sin 1 +1}{2}$