плотность суммы двух равномерно распределённых с.в.

[ean]

Случайная величина $a$ равномерно распределена на $[0;2]$, с.в. $b$ равномерно распределна на $[0,5]$, они независимы, какова плотность распределения их суммы?
Я понимаю, что здесь нужно воспользоваться свёрткой $f_{a+b}(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} f_a(z-y)\cdot f_b(y),dy$, где $f_a(z)=\begin{cases} 0, z<0 \\ {{z} \over {2}}, 0 \leqslant z \leqslant 2 \\ 1, z > 2\end{cases}$ и $f_b(z)=\begin{cases} 0, z<0 \\ {{z} \over {5}}, 0 \leqslant z \leqslant 5 \\ 1, z > 5\end{cases}$, и представляю, что график этой плотности - трапеция. Но как подступиться к интегралу непонятно.

[Lahme]

Лучше воспользуйтесь геометрической интерпретацией.
Возможные значения $a$ отложим на оси $0X$ , возможные значения $b$ - на $0Y$
Тогда область возможных значений - прямоугольник. Функция распределения $Z$ вероятность того, что сумма $a+b<z$ А графики $a+b=z$ - это наклонные линии. Вот и считайте площади той части прямоугольника, что под этой линией. Это, конечно, не одна линия, а семейство, зависит от значения $Z$

[--mS--]

Или, если очень нужно пользоваться формулой свёртки, то сворачивать следует плотности. То, что написано - не плотности, а функции распределения.

[Евгений Машеров]

График плотности - треугольник. От 0 до 7, с вершиной в точке 2.

[ean]

--mS-- в сообщении #729846 писал(а):

Или, если очень нужно пользоваться формулой свёртки, то сворачивать следует плотности. То, что написано - не плотности, а функции распределения.

Простите, попутал, плотности такие $f_a(z)=\begin{cases} 0, z<0 \\ {{1} \over {2}}, 0 \leqslant z \leqslant 2 \\ 0, z > 2\end{cases}$ и $f_b(z)=\begin{cases} 0, z<0 \\ {{1} \over {5}}, 0 \leqslant z \leqslant 5 \\ 0, z > 5\end{cases}$
Хочу разобраться как воспользоваться функцией свёртки, на какие части разбить этот интеграл?

[Otta]

А единицы справа-то откуда?

ean в сообщении #729907 писал(а):

Хочу разобраться как воспользоваться функцией свёртки, на какие части разбить этот интеграл?

Вы ее сперва выпишите, а там, авось, и видно будет. Ну хотя бы изложите Ваши соображения.

[ean]

Убрал единицы.
Я не представляю даже как в явном виде записать этот интеграл для кусочно-заданных функций, если бы понимал, то проблемы не было бы, скорее всего.

[ewert]

Евгений Машеров в сообщении #729876 писал(а):

График плотности - треугольник.

Не совсем.

Евгений Машеров в сообщении #729876 писал(а):

От 0 до 7, с вершиной в точке 2.

А это ничего, что нормировка нарушается?...

-- Ср май 29, 2013 12:37:06 --

ean в сообщении #729916 писал(а):

Я не представляю даже как в явном виде записать этот интеграл для кусочно-заданных функций,

Lahme в сообщении #729789 писал(а):

Функция распределения $Z$ вероятность того, что сумма $a+b<z$ А графики $a+b=z$ - это наклонные линии. Вот и считайте площади той части прямоугольника, что под этой линией.

[Otta]

ean в сообщении #729916 писал(а):

Убрал единицы.
Я не представляю даже как в явном виде записать этот интеграл для кусочно-заданных функций, если бы понимал, то проблемы не было бы, скорее всего.

Пишете свертку. Смотрите, при каких значениях аргумента подынтегральная функция заведомо нулевая... Слушайте, это бессмысленно, пока нет конкретных действий. Напишите интеграл в общем виде, посмотрите на него подольше, разбейте на участки, где ноль, а где нет, выбросьте все ненужное, посмотрите что чему равно и где на оставшемся промежутке и т.д.

Делайте что-нибудь, иначе не о чем говорить.

[Евгений Машеров]

Отчего же не треугольник? И какое условие нормировки нарушает вершина его с x=2?

[ewert]

Евгений Машеров в сообщении #729933 писал(а):

Отчего же не треугольник?

Оттого что трапеция.

[Евгений Машеров]

Хотя да, неправ. Треугольник для суммы равных.

[profrotter]

ean в сообщении #729916 писал(а):

Я не представляю даже как в явном виде записать этот интеграл

Представить трудно. Вы не представляйте - Вы рисуйте. Но начать следует с выписывания выражения для свёртки.

[ean]

Похоже разобрался. Действительно нужно было только начать. У меня получилось следующее.
$f_{a+b}=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f_a(z-y) \cdot f_b(y) dy = \int\limits_{0}^{5}f_a(z-y) \cdot f_b(y) dy$, вне $[0;5]$ $f_b \equiv 0$
$=\frac{1}{5} \cdot \int\limits_{0}^{5}f_a(z-y) dy$
Имеем следующую систему неравенств $\begin{cases} 0 \leq z - y \leq 2 \\ 0 \leq y \leq 5 \\ 0 \leq z \leq 7 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} z-2 \leq y \leq z \\ 0 \leq y \leq 5 \\ 0 \leq z \leq 7$ \end{cases} $
Отсюда получаем 3 случая:

1. $0 \leq z \le 2$, тогда границы интегрирования $[0;z-2]$, т.е. $f_{a+b}=\frac{1}{5} \cdot \int\limits_{0}^{z-2}\frac{1}{2} dy = \frac{1}{10}\cdot (z-2-0) = \frac{z-2}{10}$
2. $2 \leq z \leq 5$, тогда границы интегрирования $[z-2;z]$, т.е. $f_{a+b}=\frac{1}{5} \cdot \int\limits_{z-2}^{z}\frac{1}{2} dy = \frac{1}{10}\cdot (z-z+2) = \frac{1}{5}$
3. $5 \le z \leq 7$, тогда границы интегрирования $[z-2;5]$, т.е. $f_{a+b}=\frac{1}{5} \cdot \int\limits_{z-2}^{5}\frac{1}{2} dy = \frac{1}{10}\cdot (5-z+2) = \frac{7-z}{10} $

То есть вроде получается трапеция.

[ewert]

ean в сообщении #732539 писал(а):

$0 \leq z \le 2$, тогда границы интегрирования $[0;z-2]$, т.е. $f_{a+b}=\frac{1}{5} \cdot \int\limits_{0}^{z-2}\frac{1}{2} dy = \frac{1}{10}\cdot (z-2-0) = \frac{z-2}{10}$

Это ничего, что плотность отрицательна?...

Вообще полезно получить результат безо всяких интегралов, хотя бы для себя. Из картинки ясно, что графиком плотности будет равнобедренная трапеция. Причём горизонтальные координаты её вершин известны; а значит, известны и основания, и тогда высота получается в уме из условия нормировки. Остаётся только описать полученную картинку формулами (тоже в уме).