Вспомните, что у вас температура 0 К. При этой температуре
в знаменателе вообще обращается в нуль.
Потом, проикавшись, подумайте (или вспомните), как выглядит распределение Ферми-Дирака при 0 К. Это функция, равная 1 для энергий ниже поверхности Ферми (то есть ниже
химпотенциала), и равная 0 для энергий выше.
Теперь интегралы должны стать берущимися.
В принципе, при конечной температуре отличия распределения Ферми-Дирака от абсолютного нуля небольшие, и можно вместо интегрирования точной формулы взять два интеграла по экспоненциальным "хвостам", в плюс и в минус от уровня химпотенциала. Чтобы это приближение перестало работать, температуры должны стать многими тысячами градусов, тогда газ электронов можно считать классическим Максвелл-Больцмановским (если не гнаться за точностью).
электронов в электронном газе при 0К.![$$n( \varepsilon) = A[e^{\frac{\varepsilon - \mu}{kT}} + 1]^{-1}$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/5/d/75d0fcf2ace6fea68d808415ce6964dd82.png "$$n( \varepsilon) = A[e^{\frac{\varepsilon - \mu}{kT}} + 1]^{-1}$$")
![$$\frac{1}{A} = \int \limits^{+ \infty}_{- \infty} [e^{\frac{\varepsilon - \mu}{kT}} + 1]^{-1} d \varepsilon$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/8/1/f81abeda91618ac025fc7cc952ceae3282.png "$$\frac{1}{A} = \int \limits^{+ \infty}_{- \infty} [e^{\frac{\varepsilon - \mu}{kT}} + 1]^{-1} d \varepsilon$$")
![$$<v^2> = \frac{\int \limits^{+ \infty}_{- \infty} v^2[e^{\frac{\frac{mv^2}{2} - \mu}{kT}} + 1]^{-1} dv}{\int \limits^{+ \infty}_{- \infty} [e^{\frac{\frac{mv^2}{2} - \mu}{kT}} + 1]^{-1} dv}$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/c/b/2cb4f1dfa374085a14391ee475df59b782.png "$$<v^2> = \frac{\int \limits^{+ \infty}_{- \infty} v^2[e^{\frac{\frac{mv^2}{2} - \mu}{kT}} + 1]^{-1} dv}{\int \limits^{+ \infty}_{- \infty} [e^{\frac{\frac{mv^2}{2} - \mu}{kT}} + 1]^{-1} dv}$$")
, где 
?
