Работа по выемке грунта

[Aden]

Здравствуйте. Помогите с задачкой.
Необходимо выкопать колодец глубиной 14,1 м, При какой глубине будет выполнена половина всей работы по выемке грунта? Грунт считать однородным по всей глубине.

Раз полная работа по выемке грунта с глубины h будет равна A=mgh, то половина при глубине h/2=7,5м.
Либо я ошибаюсь ?

[tola]

А что, разве весь грунт поднимают с глубины h?

[svv]

Представьте ситуацию. Эту работу должны выполнить двое рабочих -- Фёдор и Прохор.

Так как Aden пришёл к выводу, что половина работы будет выполнена на середине колодца, мы разделим задание следующим образом: до $7,05$ метров копает Фёдор, а от $7,05$ до $14,1$ Прохор. При этом, понятно, каждый из них должен весь выкопанный грунт поднимать на поверхность.

Вопросы к Вам.
Справедливо ли разделить задачу между рабочими таким образом?
Кто из них больше устанет, по Вашему?
Если каждый из них выполнил ровно половину всей работы, почему же тогда один из них устал больше?

[Aden]

Получается, что искомая высота будет (14,1+7,5)/2=10,5 м ?

[tola]

Aden в сообщении #729266 писал(а):

Получается, что искомая высота будет (14,1+7,5)/2=10,5 м ?

а как бы обосновать?

(Оффтоп)

А Прохор конкретно обидится!

[GraNiNi]

Aden в сообщении #729237 писал(а):

При какой глубине будет выполнена половина всей работы по выемке грунта?

9,97

[longstreet]

Aden в сообщении #729237 писал(а):

Необходимо выкопать колодец глубиной 14,1 м, При какой глубине будет выполнена половина всей работы по выемке грунта? Грунт считать однородным по всей глубине.

Тут на форуме где-то приводили другое решение. Оно заключается в том, что каждый копает половину поперечной площади колодца на всю глубину; второй -- аналогично. Колодец получается выкопаным, а работа -- равной.

[Александрович]

$\frac{x^2}{2}=(\frac{h^2}{2})/2$

[nikvic]

Где-то читал, что зависимость стоимости колодца от глубины выражается квадратным трёхчленом

[svv]

$14,1$ -- это округленное $10\sqrt{2}$, что как бы намекает.

[Aden]

Не понял намек на $\[10\sqrt 2 \]$

[svv]

Глубина так выбрана, чтобы ответ был $10$.

[Aden]

:) так как обьяснить = 10 ?

[svv]

Удобной координатой будет глубина $z$, она равна $0$ на поверхности и отсчитывается вниз.

Грунт однородный -- значит, что в слое толщиной $dz$ содержится масса $dm=k\,dz$, где $k$ константа.

Чтобы поднять слой толщиной $dz$ на поверхность, надо затратить работу
$dA=g\,z\,dm= g\,z\,k\,dz$ ,
где $z$ -- глубина слоя.

Чтобы найти работу по подъему всего грунта от $z=0$ до $z=h$, надо проинтегрировать предыдущую формулу по $z$:
$A=\int\limits_{0}^{h} k\,g\,z\,dz$

Что-то пальцы заболели печатать. Не продолжите?

[Aden]

$\[ A = k \cdot g \cdot \frac{{z^2 }} {2} = k \cdot 9,8 \cdot \frac{{(14,1)^2 }} {2} = k \cdot 9,8 \cdot 99; \] $