Вариационные методы

[kotestyle]

1.Тонкий стержень длинною L закреплено в крайних точках на одной горизонтали. Найти форму профиля стержня в результате провисания под собственным весом. Погонная плотность $\rho$. Потенциал энергии упругой деформации стержня:
$\Pi=1/2 E J \int_{0}^{L} (\frac{\partial \alpha}{\partial l})^2 dl $
$\alpha$ - угол между касательной к профилю стержня и горизонтальной осью, $\frac{\partial \alpha}{\partial l}=\frac{1}{R}$ - кривизна стержня(R-радиус кривизны), $E$ - модуль растяжения Юнга, $J$ - главный момент инерции поперечного сечения стержня.

2. В момент времени $t=0$ поверхность $x=0$ изотропной пластинки толщиной $l$ мгновенно нагревается до температуры $\theta_0$. Поверхность $x=l$ пластинки - теплоизолирована. Решить задачу теплопроводности в первой фазе, считая коэффициент теплопроводности и удельную теплоемкость постоянной. Распределение температуры аппроксимируется выражением $\theta=\theta_0(1-\frac{x}{q_1})^2 exp(-x/q_2)$. Найти время, за которое тепло дойдет до поверхности $x=l$.

За любые подсказки и идеи буду очень признателен.

[svv]

Подсказки к первой задаче.

Ввести функцию $y(x)$, где $0\leqslant x \leqslant L$. Это высота стержня в зависимости от горизонтальной координаты $x$. Найти форму профиля -- значит найти $y(x)$.

Выразить полную потенциальную энергию стержня через $y(x)$. Учтите, что потенциальная энергия -- это не только упомянутая в условии энергия деформации, но и...

Возможно, надо будет заменить полученное выражение приближенным, более простым, основываясь на малости провисания, чтобы задача легче решалась (или вообще -- чтобы решалась в явном виде).

Вариационным методом найти функцию $y(x)$, для которой полная потенциальная энергия стержня минимальна.

(Оффтоп)

Цитата:

Тонкий стержень длинною L закреплено

Признак того, что условие задачи переведено с украинского.

[kotestyle]

Ну, я попробовал записать функционал как сумма подинтегрального выражения + $\rho g y$, при этом так как угол $\alpha$ очень мал, его можно выразить как $tg \alpha=\alpha=y/x=dy/dx$ в итоге имеем функционал F(x,y,y''). Записав уравнение Ейлера я получил ОДУ 4-го порядка, ответом коего есть полином 4го порядка. И как-бы надо 4 гран. условия. Но так как стержень закреплен имеем только 2. Где взять еще 2 и правилен ли вообще ход мыслей?

[svv]

Так как стержень закреплён, имеем два условия $y(0)=0, \;\; y(L)=0$.

Имеются ещё два граничных условия (по одному на каждый конец стержня), но они зависят от способа закрепления. Так, если стержень заделан, то
$y'(0)=0, \;\; y'(L)=0$
Если стержень закреплён на шарнирах, то
$y''(0)=0, \;\; y''(L)=0$

Если по условию способ закрепления не задан, мне кажется, подразумевается шарнирное (но могу ошибаться).

Общий ход мыслей правильный.

[kotestyle]

Это хорошо, но тогда как объяснить, что результатом есть полином 4го порядка? Ведь по сути профиль прогиба должен принимать какой-то параболический вид, причем очень широкая парабола, или еще лучше гиперб. кисинус.

И ко второй задаче. Что б найти тепловой потенциал, у нас $q_1$ глубина проникновения. Так вот, что б найти $U$ мы интегрируем по иксу функцию $\theta$, от 0 до $q_1$. Но ведь функция зависит еще и от $q_2$. Что с ним делать при интегрировании, принять за константу? И что вообще это за параметр системы, если он по сути только влияет насколько "просядет" кривая.

[svv]

У Вас должно было получиться уравнение $E J y''''=-\rho g$. Правильно?

Чтобы Вы не сомневались в правильности полученного уравнения, можете свериться с Ландау-Лифшицем, VII том "Теория упругости", параграф 20 "Слабый изгиб стержней", уравнение 20.4, там и увидите эти четвертые производные.

Полином четвертой степени может выглядеть для глаза неотличимо от параболы или гиперболического косинуса, если рассматривается вблизи нуля.

Гиперболический косинус получается в задаче о тяжелой нити или цепи, подвешенной за оба конца. Ваша задача отличается тем, что стержень сопротивляется изгибу, а нить нет. Соответственно, и форма здесь получается другая.

По второй задаче я не берусь Вам помогать.

[kotestyle]

Ну, я так и оставил с полиномом, и уже сдал обе задачи.
Спасибо за отзыв.

[svv]

Так при уравнении $y''''(x)=\text{const}$ (которое есть у ЛЛ), как бы, ничего кроме полинома и не будет.