газ ван-дер-ваальса

[kirillag]

какое кол-во тепла надо подвести к 1 молю газа в-д-в, чтобы при расширении в пустоту от v1 до v2 его 1) T не изменилось, 2) p не изменилось?

[Ms-dos4]

Ваши попытки решения?

[kirillag]

Ms-dos4 в сообщении #729500 писал(а):

Ваши попытки решения?

$ dA = 0 \hfill \\$

$dQ = {\left( {\frac{{\partial U}}{{\partial T}}} \right)_V}dT + {\left( {\frac{{\partial U}}{{\partial V}}} \right)_T}dV \hfill \\$

$ 1)T = const \hfill \\$

$ dQ = {\left( {\frac{{\partial U}}{{\partial V}}} \right)_T}dV = \left( {T{{\left( {\frac{{\partial p}}{{\partial T}}} \right)}_V} - p} \right)dV = \left( {\frac{{TR}}{{V - b}} - p} \right)dV \hfill \\$

$ 2)p = const \hfill \\$

$ dQ = {\left( {\frac{{\partial U}}{{\partial T}}} \right)_V}dT + {\left( {\frac{{\partial U}}{{\partial V}}} \right)_T}dV = {C_v}dT + \left( {\frac{{TR}}{{V - b}} - p} \right)dV \hfill \\ \end{gathered} $

[Ms-dos4]

Можно сделать так. Энергия 1 моля газа ВдВ $\[U = {C_V}T - \frac{a}{{{V_M}}}\]$ (где $\[{C_V} = \frac{i}{2}R\]$)
Тогда $\[\Delta U = \nu {C_V}\Delta T - {\nu ^2}a(\frac{1}{{{V_2}}} - \frac{1}{{{V_1}}})\]$
(отсюда следует, что если не подводить теплоту (Q=0), то при расширении в вакуум (A=0) температура изменится на $\[\Delta T = \frac{{\nu a}}{{{C_V}}}(\frac{1}{{{V_2}}} - \frac{1}{{{V_1}}})\]$)
В нашем случае $\[\Delta U = Q\]$
$\[\nu {C_V}\Delta T - {\nu ^2}a(\frac{1}{{{V_2}}} - \frac{1}{{{V_1}}}) - Q = 0\]$
Если температура не изменилась, то подвели
$\[Q = {\nu ^2}a(\frac{1}{{{V_1}}} - \frac{1}{{{V_2}}})\]$

[kirillag]

Ms-dos4 в сообщении #729528 писал(а):

Можно сделать так. Энергия 1 моля газа ВдВ $\[U = {C_V}T - \frac{a}{{{V_M}}}\]$ (где $\[{C_V} = \frac{i}{2}R\]$)
Тогда $\[\Delta U = \nu {C_V}\Delta T - {\nu ^2}a(\frac{1}{{{V_2}}} - \frac{1}{{{V_1}}})\]$
(отсюда следует, что если не подводить теплоту (Q=0), то при расширении в вакуум (A=0) температура изменится на $\[\Delta T = \frac{{\nu a}}{{{C_V}}}(\frac{1}{{{V_2}}} - \frac{1}{{{V_1}}})\]$)
В нашем случае $\[\Delta U = Q\]$
$\[\nu {C_V}\Delta T - {\nu ^2}a(\frac{1}{{{V_2}}} - \frac{1}{{{V_1}}}) - Q = 0\]$
Если температура не изменилась, то подвели
$\[Q = {\nu ^2}a(\frac{1}{{{V_1}}} - \frac{1}{{{V_2}}})\]$

спасибо, а как можно решить с постоянным давлением?

[Ms-dos4]

kirillag
То же самое. В предыдущем пункте, вы видели, что температура (при подведении тепла) изменяется на
$\[\Delta T = \frac{Q}{{\nu {C_V}}} + \frac{{\nu a}}{{{C_V}}}(\frac{1}{{{V_2}}} - \frac{1}{{{V_1}}})\] $
Зная изменение температуры в процессе (и соотв. начальный и конечный объёмы), можно с помощью уравнения состояния газа ВдВ найти изменение давления в этом процессе. А дальше приравнять к нулю и выразить Q.

[kirillag]

Ms-dos4 в сообщении #729546 писал(а):

kirillag
То же самое. В предыдущем пункте, вы видели, что температура (при подведении тепла) изменяется на
$\[\Delta T = \frac{Q}{{\nu {C_V}}} + \frac{{\nu a}}{{{C_V}}}(\frac{1}{{{V_2}}} - \frac{1}{{{V_1}}})\] $
Зная изменение температуры в процессе (и соотв. начальный и конечный объёмы), можно с помощью уравнения состояния газа ВдВ найти изменение давления в этом процессе. А дальше приравнять к нулю и выразить Q.

Чтобы найти изменение давления нужно продифференцировать уравнение состояния?

[Ms-dos4]

kirillag
Вас чем $\[\Delta p = {p_2} - {p_1}\]$ не устраивает то? Проще быть надо)

[kirillag]

Ms-dos4 в сообщении #729560 писал(а):

kirillag
Вас чем $\[\Delta p = {p_2} - {p_1}\]$ не устраивает то? Проще быть надо)

а если продифференцировать, получится то же самое? это из-за того что переменные в 1 степени, можно просто разницу взять?..

$ \left( {{p_2} - {p_1} + \frac{a}{{{{({V_2} - {V_1})}^2}}}} \right) = \frac{{R\left( {\frac{Q}{{{C_v}}} + \frac{a}{{{C_v}}}\left( {\frac{1}{{{V_2}}} - \frac{1}{{{V_1}}}} \right)} \right)}}{{\left( {\left( {{V_2} - {V_1}} \right) - b} \right)}} \hfill \\$

$ \left( {\frac{a}{{{{({V_2} - {V_1})}^2}}}} \right) = \frac{{R\left( {\frac{Q}{{{C_v}}} + \frac{a}{{{C_v}}}\left( {\frac{1}{{{V_2}}} - \frac{1}{{{V_1}}}} \right)} \right)}}{{\left( {\left( {{V_2} - {V_1}} \right) - b} \right)}} \hfill \\ $

все верно?

[Ms-dos4]

kirillag
Просто подставлять разницу каждой величины в уравнение нельзя, у вас же нелинейная зависимость. Берёте, пишите уравнение ВдВ в виде $\[p = f(V,T)\]$. Далее записываете его для $\[{p_1},{V_1},{T_1}\]$ и $\[{p_2},{V_2},{T_2}\]$. Вычитаете из 2-го 1-е и слева имеете разницу давлений, справа-некое выражение. В нём заменяете $\[{T_2} = {T_1} + \Delta T\]$ и полагаете $\[\Delta p = 0\]$. Получившееся уравнение решаете относительно Q.

[kirillag]

Ms-dos4 в сообщении #729578 писал(а):

kirillag
Просто подставлять разницу каждой величины в уравнение нельзя, у вас же нелинейная зависимость. Берёте, пишите уравнение ВдВ в виде $\[p = f(V,T)\]$. Далее записываете его для $\[{p_1},{V_1},{T_1}\]$ и $\[{p_2},{V_2},{T_2}\]$. Вычитаете из 2-го 1-е и слева имеете разницу давлений, справа-некое выражение. В нём заменяете $\[{T_2} = {T_1} + \Delta T\]$ и полагаете $\[\Delta p = 0\]$. Получившееся уравнение решаете относительно Q.

огромное спасибо!