Интеграл от бесконечно малой функции.

[Nemiroff]

Kroshik в сообщении #728732 писал(а):

Так?

Что "так"? Как задача формулируется, что нужно сделать?

[ewert]

Kroshik в сообщении #728675 писал(а):

Допустим, имеется функция $f(x)+o(x).$ Интегрируем её на отрезке $[a,b]$.
как поступать с $f(x)$-очевидно. А вот что происходит с $o(x)$?

Ничего не происходит, решительно ничего. У Вас наверняка не та постановка вопроса (если вопрос вообще был поставлен). Если и могло что-то иметься в виду, то лишь что-нибудь вроде "$f(x)+o(\alpha).$". Но даже и в таком виде вопрос лишён формального смысла (если без уточнений).

[Kroshik]

я окончательно потерялась. Собственно, попытаюсь начать с начала.
Есть формула для площади кольца $\pi\cdot((x_2)^2-(x_1)^2)$
мне нужно было проинтегрировать её по $x$. (Она является частью формулы. ) и не нравится мне вот что:
строится интегральная сумма:
$\sum_{i=0}^{n-1}\(x_i^2\cdot\((x_i_+_1)-(x_i)))$
$\pi\cdot((x_i)^2-(x_i_-_1)^2)=(\pi\cdot2\cdot\Delta(x)\cdot\(x_i)+o(\Delta(x))$
И вот мне точно нужно знать, что происходит с $o(\Delta(x))$,
когда мы интегрируем....)

[provincialka]

Как можно проинтегрировать по $x$ то, в чем $x$ нет, а есть только $x_1$ и $x_2$?
А в сумме тоже есть $x_i$, они совпадают с $x_1,x_2$ при соответствующих индексах?

Правда, есть некоторое улучшение, теперь о-малое уже от $\Delta x$, от величины, которая стремится к 0.

Кстати, зачем вам столько закрывющих скобок?

[Kroshik]

Цитата:

Ничего не происходит, решительно ничего. У Вас наверняка не та постановка вопроса (если вопрос вообще был поставлен). Если и могло что-то иметься в виду, то лишь что-нибудь вроде "

$$f(x)+o(\alpha).$$

". Но даже и в таком виде вопрос лишён формального смысла (если без уточнений).

Эм... Это именно то, что я хотела сказать.
Только мне нужны именно уточнения. Т.е. почему это так. :)

И у меня никак не получается нормально написать формулы. (

[Otta]

Kroshik
Это уже что-то более вразумительное.
Давайте дальше порядок наводить.
Что значит проинтегрировать Вашу площадь кольца по $x$, когда она у Вас от $x$ не зависит?
Что касается Вашей интегральной суммы.
Интегральная сумма у Вас вполне конкретная, в ей никаких о малых нет. И соответствует она вычислению ясно какого интеграла. (Ясно?)

Что касается манипуляций с формулами для колец: никаких о малых от дельта там не остается.
В итоге мне осталось непонятным одно: а Вы понимаете, что Вы считаете? )

[Kroshik]

У меня окружность интегрируется по кольцам.И отсюда получается $o(\Delta(x))$
$\sum_{i=0}^{n-1}\pi\cdot x^2_i-x^2_i_-_1=\sum_{i=0}^{n-1}\pi\cdot2\cdot\Delta(x)\cdot\(x_i+o(\Delta(x))$.

[ИСН]

Слушайте, ну сколько можно, ну. Уберите из формулы все (все-все-все) круглые скобки. Полностью.

-- Вс, 2013-05-26, 23:47 --

И только потом верните ту единственную, которая нужна по существу.

[Otta]

Kroshik в сообщении #728763 писал(а):

У меня окружность интегрируется по кольцам.

Интересно, это как?
Как бы то ни было, если Вы в вашей сумме откроете скобочки и напишете ее в развернутом виде, останется мало-мало слагаемых, всего два штука, а интеграла не будет.

(Оффтоп)

-- 27.05.2013, 00:54 --

Kroshik в сообщении #728759 писал(а):

Цитата:

Ничего не происходит, решительно ничего. У Вас наверняка не та постановка вопроса (если вопрос вообще был поставлен). Если и могло что-то иметься в виду, то лишь что-нибудь вроде "

$$f(x)+o(\alpha).$$

". Но даже и в таком виде вопрос лишён формального смысла (если без уточнений).

Эм... Это именно то, что я хотела сказать.
Только мне нужны именно уточнения. Т.е. почему это так. :)

Хм... Что - так?

-- 27.05.2013, 00:58 --

(Оффтоп)

ИСН, что Вы сделали.

[Kroshik]

(Оффтоп)

Вообще, окружность интегрируется по отрезкам колец. И высчитывается сила.
Но о существовании LaTeX я узнала только сегодня вечером. И поэтому хотела обойтись "малой кровью" и не писать всей задачи и своего тройного интеграла. Получилось хуже.(

В общем, вопрос-то должен был быть такой:
$\int_{a}^{b}f(x)+o(\alpha)dx$,
где $\alpha \to 0$ И нужно точно знать, что происходит с этими бесконечно малыми величинами, не зависящими от $x$, т.е. почему в итоге они дают ноль.

[Otta]

(Оффтоп)

Kroshik в сообщении #728771 писал(а):

Вообще, окружность интегрируется по отрезкам колец.

Вообще, интегрироваться может функция. Окружность - множество.

Kroshik в сообщении #728771 писал(а):

В общем, вопрос-то должен был быть такой:
$\int_{a}^{b}f(x)+o(\alpha)dx$,
где $\alpha \to 0$ И нужно точно знать, что происходит с этими бесконечно малыми величинами, не зависящими от $x$, т.е. почему в итоге они дают ноль.

Тогда зачем о маленькое?
$\int_{a}^{b}(f(x)+\alpha)dx$, $\alpha$ бесконечно малая и не зависит от $x$. Константа по $x$, короче. Ну так и работайте с ней как с константой. Чему там интеграл от константы равен?
Только все-таки она бесконечно малая, то есть, зависит от некоторой переменной, по которой в окрестности указанной точки (где она бесконечно малая) будет стремиться к нулю.

А давать ноль даже она Вам не даст. (А ведь Вы упорно хотите равенства). Не будет Вам равенства. Все эти бесконечно малые имеют смысл только при предельных переходах.

Но поскольку эта задача существенно отличается от трех приведенных Вами ранее, скорее Всего, Вам это не нужно. Есть предложение изложить точную формулировку.

[Kroshik]

Otta
Вы ответили именно на тот вопрос, который я пыталась сформулировать. Спасибо. Я все поняла. И это было именно то, что мне нужно. :)

[ewert]

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #728758 писал(а):

Кстати, зачем вам столько закрывющих скобок?

ИСН в сообщении #728766 писал(а):

Уберите из формулы все (все-все-все) круглые скобки. Полностью.

Это не скобки, это смайлики. Математические.

[Otta]

Kroshik в сообщении #728783 писал(а):

И это было именно то, что мне нужно. :)

Ну дай Бог.

(Оффтоп)

А Фихтенгольц не помешал бы.