Категория измеримых пространств

[Mysterious Light]

Добрый день,

Какими свойствами обладает категория измеримых пространств?

Измеримое пространство — это пара $(V,T_V)$, где $V\in\underline{\rm{Set}}$ и $T_V\!\in 2^V$ — $\sigma$-алгебра.

Измеримая функция $f:U\to V$ удовлетворяет условию $\forall O\!\in T_V:\; f^{-1}(O)\!\in T_U$.

Терминальный объект — $V=\{\varnothing\}, \quad T_V=\{\varnothing,\,V\}$.
Инициальный объект — $V=\varnothing, \quad T_V=\{\varnothing\}$.
Сумма $U\!+\!V, \quad T_{U+V}$ как наименшая $\sigma$-алгебра, содержащая $T_U\cup T_V$.
Произведение $U\!\times\! V, \quad T_{U\times V}$ как наименшая $\sigma$-алгебра, содержащая $\{O_U\times O_V \; | \; O_U\!\in T_U,\, O_V\!\in T_V\}$.
Если я прав, вышеописанные 4 предела удовлетворяют определению.

Можно ли построить экспоненту $U^V$?

[Mysterious Light]

Возник попутный вопрос: как доказать, что $ev(f,x)=f(x)$ является непрерывной функцией между $X^Y\!\times\! Y$ с Тихоновской топологией и $X$.
Думаю, можно похожие рассуждения переложить на измеримые пространства и функции, всё-таки структуры похожие.

[AGu]

Mysterious Light в сообщении #721277 писал(а):

как доказать, что $ev(f,x)=f(x)$ является непрерывной функцией

Похоже, никак: Exponential object, Category of topological spaces.
Кстати, A question about measurable structures on function spaces.