Многообразие минимумов энергии в конфигурационном пр-ве

[quantum newbie]

Представим себе систему из $N$ классических частиц в 3-мерном пространстве. Конфигурационное пространство $3N$-мерное. Также предположим, что частицы взаимодействуют по некоторому закону, определяемом относительным положением частиц. Потенциал такой системы

$$U(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\ldots,\mathbf{r}_N)=\sum_{i\neq j} U_0(\|\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j\|)$$

$U_0$ — это, например, потенциал Леннарда-Джонса, или другой потенциал с похожим поведением $ \left( U_0(0)\to +\infty, \; U_0(\infty)\to -0 \right) $.

Интересно посмотреть, какие локальные минимумы есть у такой функции $U(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\ldots,\mathbf{r}_N)$, потому что принципиально более вероятно обнаружить систему около одного из таких минимумов, не располагая никакими другими данными. Удобно предполагать, что система низкотемпературная, то есть кинетическая энергия небольшая, тогда энергия определяется потенциальной энергией в основной мере; впрочем, это не обязательно.

В начале я думал найти число локальных минимумов, но потом обнаружилась такая особенность:
Пусть в точке $q_0=(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\ldots,\mathbf{r}_N)$ находится минимум $U$. Давайте сместим каждую частицу на вектор $\Delta \mathbf{r}$. Потенциальная энергия не изменится, поэтому в точке $q_0'=(\mathbf{r}_1+\Delta\mathbf{r},\mathbf{r}_2+\Delta\mathbf{r},\ldots,\mathbf{r}_N+\Delta\mathbf{r})$ она принимает то же значение. Делая смещение сколь угодно малым, можно показать, что минимум $U(q_0)$ является нестрогим, то есть в любой окрестности $q_0$ имеется сколь угодно много точек $q_0'$, в которых потенциальная энергия такая же.
Это означает, что множество точек конфигурационного пространства, соответствующие одному локальному нестрогому минимуму с точностью до трансляции системы в целом, образует 3-мерное многообразие. Если система находится около него, то она может свободно двигаться вдоль него. Это подобно движению шарика на плоской гладкой поверхности, когда сколь угодно малого правильно направленного импульса достаточно, чтобы переправить шарик из одной точки в другую.
Кроме трансляций, можно ещё поворачивать систему на некоторый угол, от этого энергия также не изменится. Это, по идее, должно расширить множество точек, соотв. одному локальному минимуму.

Множества, соответствующие принципиально разным локальным минимумам, разделены. То есть, это своеобразные «островки», которые имеют некоторую форму, определяемую симметрией пространства, разделённые состояниями с большей потенциальной энергией.

В общем, что из себя представляет структура локальных минимумов в конфигурационном пространстве?

[VladimirKalitvianski]

Если Вы целиком смещаете тело (не толкая его, а переходя в другую систему отсчета), то и минимумы (строгие) будут также смещаться. Если система холодная, то она образует, скажем, решетку, "пчелиные соты", которые можно наблюдать из движущихся или смещенных или повернутых систем отсчета.

[quantum newbie]

Я Вас, видимо, не понял. Объясните, пожалуйста.

Эффективно описанное смещение соответствует переходу в другую систему отсчёта. Точнее сказать так: точка фазового пространства $q_0'$ в старой системе отсчёта соответствует точке $q_0$ в новой системе отсчёта. Тем не менее, мне удобнее рассуждать в какой-то одной системе отсчёта.

Почему Вы говорите, что минимумы строгие? Тема поднята как раз потому что, как внезапно мне открылось, они строгими быть не могут, если частиц больше двух.

Ещё я не понял аналогию с сотами и решеткой. На всякий случай подчеркну, что никакая кристаллическая решётка не предполагается априорно.

(Оффтоп)

Частный случай $N=2$:

$$U(\vec{r}_1,\vec{r}_2)=4\varepsilon \left[ \left(\frac{\sigma}{r}\right)^{12} - \left(\frac{\sigma}{r}\right)^{6} \right], \quad r=\|\vec{r}_1-\vec{r}_2\|$$

Минимум энергии наблюдается при $r=\sigma \sqrt[6]{2}$, то есть во всех точках конфигур. пространства $q=(\vec{r}_1,\vec{r}_2)$, где $\|\vec{r}_1-\vec{r}_2\| = \sigma \sqrt[6]{2}$. Это уравнение задаёт гиперповерхность с 5 степенями свободы в 6-мерном пространстве всех $q$. Каждая точка является минимумом энергии, однако этот минимум нестрогий. Никаких других локальных минимумов нет.

[Munin]

quantum newbie
Вроде, вы всё правильно сами описали. Каждый минимум будет многообразием $R^3\times S^3,$ а если перейти в систему центра масс и заданную ориентацию осей координат по отношению к частицам - то точкой; если только закон взаимодействия не будет таким, что некоторые точки минимума будут сами превращаться в линии. (Например, если взять $U_0(r)$ вида
$U_0(r)=\left\{\begin{array}{ll}+\infty,\qquad&\text{если \(r<a\)}\\-C,\qquad&\text{если \(a<r<b\)}\\0,\qquad&\text{если \(r>b\)}\end{array}\right.$
то частицы, удалённые друг от друга больше, чем на $b,$ не будут испытывать взаимного влияния, как будто дальние узлы шарнирного соединения, и минимум не будет зависеть от их взаимного расстояния.)

[zask]

quantum newbie в сообщении #725979 писал(а):

В общем, что из себя представляет структура локальных минимумов в конфигурационном пространстве?

А зачем Вам эти минимумы? Мне кажется очевидным, что они будут соответствовать расположению частиц в потенциальных ямах парного потенциала - т.е., упорядоченной решетке или наличию фрагментов такой решетки (которые соответствуют зародышам твердой фазы). Вероятно об этих сотах писал VladimirKalitvianski. Если не исследуется фазовый переход, то роль этих конфигураций не должна быть велика. Но, если, как Вы сказали, у Вас температура низкая - то мы и получим кристалл, как положено (в обычном классическом случае). Таким образом, задача тривиальна.

Но, вообще, основная идея статфизики в том, что надо исследовать не минимум энергии (и тем более конфигурационного члена), а максимум энтропии. Это, конечно, справедливо в том случае, когда температурный член работает.

Второй вопрос - что Вы пытаетесь получить из смещения системы как целого и вращения? Казалось бы, трудно получить отсюда что-то нетривиальное, касающееся конфигураций?

[quantum newbie]

zask в сообщении #726926 писал(а):

А зачем Вам эти минимумы? Мне кажется очевидным, что они будут соответствовать расположению частиц в потенциальных ямах парного потенциала - т.е., упорядоченной решетке или наличию фрагментов такой решетки (которые соответствуют зародышам твердой фазы). Вероятно об этих сотах писал VladimirKalitvianski. Если не исследуется фазовый переход, то роль этих конфигураций не должна быть велика. Но, если, как Вы сказали, у Вас температура низкая - то мы и получим кристалл, как положено (в обычном классическом случае). Таким образом, задача тривиальна.

Мне эта задача не кажется тривиальной. Если темперетура достаточно низкая, а исходно система была в некотором состоянии, то она вполне может скатиться в ближайший локальный минимум, который не является глобальным. А решетка, как мне интуиция подсказывает, будет соответствовать как раз глобальному минимуму. Что из себя представляют минимумы с большей энергией также не понятно.

zask в сообщении #726926 писал(а):

Второй вопрос - что Вы пытаетесь получить из смещения системы как целого и вращения? Казалось бы, трудно получить отсюда что-то нетривиальное, касающееся конфигураций?

Читал статью, в которой предлагается рассмотреть блуждание системы между минимумами. Там предполагается, что минимумы точечные (строгие). Возможность вращать систему и смещать делает это утверждение неверным. Оттого и вопрос, как на самом деле есть.

Можно ли, как говорит Munin, каким-то образом исключить этот фактор, который не даёт-таки ничего принципиально нового? Усложняется тем, что нет единиго правила для выбора ориентации осей; исключить влияние смещения проще путём рассматрения только систем с центром масс в начале координат.
В общем случае, это будет что-то типа отождествления всех точек на каждом таком многообразии $R^3\!\times\! S^3$. Что от конфигурационного пространства останется после такого отождествления?

[dvb]

quantum newbie в сообщении #727354 писал(а):

Если темперетура достаточно низкая, а исходно система была в некотором состоянии, то она вполне может скатиться в ближайший локальный минимум, который не является глобальным. А решетка, как мне интуиция подсказывает, будет соответствовать как раз глобальному минимуму. Что из себя представляют минимумы с большей энергией также не понятно.

Возможно, Ваши рассуждения имеют реальную почву, что-то в этом роде и происходит в стеклах, то есть в аморфных твердых телах. В молодости я читал статьи по стеклам, и там утверждалось, что первоначально там нет никакой кристаллической структуры даже если оно остыло. Тем не менее, оно твердое, то есть сопротивляется попыткам вывести ее из локальног минимума коллективного потенциала. Но постепенно любое стекло кристаллизуется, то есть система валится в глобальный минимум. Не знаю, правда, насколько полезно будет рассматрение такой модели стекла, а вот для звезд в галактике модель коллективного потенциала работает.

[Munin]

quantum newbie в сообщении #727354 писал(а):

Усложняется тем, что нет единиго правила для выбора ориентации осей

Возьмите три произвольные частицы. Одну поместите в начало координат, в сторону второй направьте ось $x,$ а плоскость всех трёх совместите с плоскостью $xy.$

[quantum newbie]

Мне кажется, что могут быть проблемы.

Уверен, что система движется точков в $3N$-мерном пространстве, притом если в некоторый момент она располагалась в точке конфигурационного пространства $\mathbf{R}=(\mathbf{r}_1,\ldots,\mathbf{r}_N)$ с $\sum\mathbf{r}_i=0$, то и в дальнейшем она будет находиться только в таких точках.

Всё конфигурационное пространство можно разбить на «слои» по значению $\sum\mathbf{r}_i$. Если в момент $t_0$ система была в слое $\sum\mathbf{r}_i=0$, то слой, в котором находится система в момент $t>t_0$, определяется полностью скоростью центра масс. В частности, если эта скорость равна нулю, система движется только в одном слое, его не покидая. Потому можно сказать, что достаточно рассмотреть ландшафт только в одном слое. Про остальные слои говорим либо что там то же самое, либо что нам не интересно чтó там.

Допустим мы выбрали правило выбора системы координат. Например, похожую на Вашу, Munin, где начало в центре масс, ось $x$ в направлении частицы $\mathbf{r}_1$, ось $y$ из ортогонолизации Грамма-Шмидта для $\{\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2\}$. Далее система начинает двигаться во времени. Если так случится, что вторая частица пройдёт мимо оси $x$, возникнут проблемы. Вопрос о том, что делать в случае $\mathbf{r}_1\propto\mathbf{r}_2$, также можно поставить, хоть некто может усомниться в физической необходимости него. Тем не менее, чем ближе вторая точка подойдет к оси $x$, тем больше зависит направление других двух осей от точной траектории. Получается такая себе «неустойчивая» зависимость. На интуитивном уровне мне кажется это проблемой.

Если по-прежнему не понятно, в чём проблема выбора системы координат, скажу по-другому:
Мы выбрали единоразово систему координат с началом в ц.м. — и в любой момент времени мы находимся на одном «слое», который пересекается с $R^3\times S^3$ многообразием минимумов по $S^3$ многообразию. Выгода: убрали $R^3$-вырожденность за счёт трансляций.
Мы выбрали правило выбора системы координат и... систему координат следует выбирать в каждый момент времени заново. В общем-то да, это правило есть своеобразное отображение, потому что каждой точке мы сопоставляем "другую" точку, соответствующую координатам в новой системе.
Но если это отображение $R^{3N}\to R^{3N}$, то оно не сюрьективно, тогда какой у него образ?
Если это $R^{3N}\to R^{3N-6}$, но непрерывно ли оно? Или оно отображает не в $R^{3N-6}$, тогда в какое многообразие?
Вопрос как-бы в том, есть ли ближайший аналог тех «слоёв», которые появлялись выше.

К тому же, если в одном «слое» система движется по естественным законам, то движение системы в описанной СО первых двух точек будет очень хитрым. В частности, при сближении $r_1$ и $r_2$ даже на низких скоростях при низких энергиях все остальные точки, особенно удалённые от ц.м., будут набирать очень большие координатные скорости, потому что система координат будет разворачиваться в соответствии с движением только первых двух.

[Munin]

quantum newbie в сообщении #728140 писал(а):

Уверен, что система движется точков в $3N$-мерном пространстве, притом если в некоторый момент она располагалась в точке конфигурационного пространства $\mathbf{R}=(\mathbf{r}_1,\ldots,\mathbf{r}_N)$ с $\sum\mathbf{r}_i=0$, то и в дальнейшем она будет находиться только в таких точках.

Простите, а как же теорема о движении центра масс? $\sum\mathbf{r}_i$ будет самое большее линейной функцией от времени, а не константно нулём.

quantum newbie в сообщении #728140 писал(а):

На интуитивном уровне мне кажется это проблемой.

Хорошо. Возьмите явно случай трёх пронумерованных точек, и опишите его. (Для тренировки, можно сначала взять двумерную систему и две пронумерованные точки.)

[quantum newbie]

Munin в сообщении #728169 писал(а):

quantum newbie в сообщении #728140 писал(а):

Уверен, что система движется точков в $3N$-мерном пространстве, притом если в некоторый момент она располагалась в точке конфигурационного пространства $\mathbf{R}=(\mathbf{r}_1,\ldots,\mathbf{r}_N)$ с $\sum\mathbf{r}_i=0$, то и в дальнейшем она будет находиться только в таких точках.

Простите, а как же теорема о движении центра масс? $\sum\mathbf{r}_i$ будет самое большее линейной функцией от времени, а не константно нулём.

Именно на ней и основываются рассуждения. Согласен, пропущено условие нулевой скорости центра масс. В следующем параграфе это же описывается более аккуратно и подробно.

Munin в сообщении #728169 писал(а):

quantum newbie в сообщении #728140 писал(а):

На интуитивном уровне мне кажется это проблемой.

Хорошо. Возьмите явно случай трёх пронумерованных точек, и опишите его. (Для тренировки, можно сначала взять двумерную систему и две пронумерованные точки.)

(Описание системы)

Пусть есть три частицы $\vec{r}_1$, $\vec{r}_2$ и $\vec{r}_3$, причём в одной плосности.

$$\hat x = \frac{\vec{r}_1}{r_1}, $$ $$\tilde {y} = \vec{r}_2 - \hat x (\vec{r}_2,\hat x) = \vec r_2 - \vec r_1 \frac {\vec r_1 \vec r_2} {r_1^2}, $$ $$\hat {y} = \frac {\tilde y}{\|\tilde y\|} = \frac { \vec r_2 - \vec r_1 \frac {\vec r_1 \vec r_2} {r_1^2} } { \sqrt{ r_2^2 - \frac{(r_1,r_2)^2} {r_1^2} } }, $$ $$\hat z = \hat{x}\times\hat{y}.$$

Тогда координаты частиц в «собственной» системе таковы:

$$x_1 = r_1, \qquad y_1 = 0, $$ $$x_2 = \vec{r}_2 \hat x = \frac {(\vec r_1,\vec r_2)}{r_1}, \qquad y_2 = \vec{r}_2 \hat y = \frac {r_2^2 - \frac{(r_1,r_2)^2} {r_1^2}} { \sqrt{ r_2^2 - \frac{(r_1,r_2)^2} {r_1^2} } } = \sqrt{ r_2^2 - \frac{(r_1,r_2)^2} {r_1^2} }, $$ $$x_3 = \vec{r}_3 \hat x = \frac {(\vec r_1,\vec r_3)}{r_1}, \qquad y_3 = \vec{r}_3 \hat y = \frac {(r_3,r_2) - \frac{(r_1,r_2)(r_3,r_2)} {r_1^2}} { \sqrt{ r_2^2 - \frac{(r_1,r_2)^2} {r_2^2} } }, $$

(Преобразование законов движения)

Не знаю, может проще будет смотреть на Лагранжиан или Гамильтониан с соответствующими уравнениями, пока смотрю на уравнения Ньютона. Пусть заданы уравнения движения вида

$$\ddot{\vec r}_i = \vec F(\vec{r}_1,\vec{r}_2,\vec{r}_3,t). \eqno(1)$$

Переходим в новые координаты (это вроде называется теоремой Кориолиса)

$$\vec{r}_i = x_i\hat x + y_i\hat y + z_i\hat z, $$ $$\ddot{\vec r}_i = ( \ddot{x}_i\hat x + \ddot{y}_i\hat y + \ddot{z}_i\hat z ) + 2 ( \dot{x}_i \dot{\hat x} + \dot{y}_i \dot{\hat y} + \dot{y}_i \dot{\hat y} ) + ( x_i \ddot{\hat x} + y_i \ddot{\hat y} + z_i \ddot{\hat z}). \eqno(2)$$

Поскольку орты $\hat x,\hat y,\hat z$ явно зависят от $\vec{r}_1$ и $\vec{r}_2$, производные также выражаются явно:

$$\dot{\hat x} = \frac d{dt} \frac{\vec{r}_1}{r_1} = \frac{\dot{\vec r}_1}{r_1} - \frac {\vec{r}_1\dot r_1}{r_1^2} = \frac {\dot{\vec r}_1 - \hat x(\hat x,\dot{\vec r}_1)} {r_1}, $$ $$\dot{\hat y} = \frac d{dt} \frac{\tilde y}{\|\tilde y\|} = \frac {\dot{\tilde y} - \hat y(\hat y,\dot{\tilde y})} {\|\tilde y\|}, $$ $$\dot{\tilde y} = \frac d{dt} (\vec{r}_2-\hat x (\hat x, \vec{r}_2)) = \dot{\vec r}_2 - \dot{\hat x}(\hat x,\vec{r}_2) - \hat x(\dot{\hat x},\vec{r}_2) - \hat x (\hat x, \dot{\vec r}_2). $$

Производная $\hat x$ имеет понятный смысл: это трансверсальная скорость первой частицы, гомотетически сжатая до размеров орта. Вторая формула выглядит аналогично. Но страшно.
Аналогичено можно выразить вторые производные, которые выглядят ещё страшнее.

(Угловое движение)

Можно представить это в виде поворотов: трансверсальную скорость можно представить в виде $\vec{\omega}\times\vec{r}_1=\dot{\vec r}_1-\hat x(\hat x,\dot{\vec r}_1)$, причем можно показать, что если потребовать $\vec{\omega}\vec{r}_1=0$, то $\omega = \frac 1 {r_1} \| \dot{\vec r}_1-\hat x(\hat x,\dot{\vec r}_1) \|$. Иными словами,

$$\vec\omega = \frac {\hat x\times (\dot{\vec r}_1-\hat x(\hat x,\dot{\vec r}_1))} {r_1} = \frac {\hat x\times \dot{\vec r}_1} {r_1}.\eqno(3)$$

Тогда поворот оси выражается формулой $\dot{\hat x} = \vec{\omega}\times\hat x.$
Если $\vec\omega$ направлена вдоль $\hat z$, а это будет при движении первой частицы в плоскости первых двух частиц, сразу получаем $\dot{\hat y} = \vec{\omega}\times\hat y.$
Выразим вторые производные:

$$\ddot{\hat x} = \vec{\omega}\times[\vec{\omega}\times\hat x] + \dot{\vec \omega}\times\hat x = \dot{\vec \omega}\times\hat x - \omega^2 \hat x, $$ $$\dot{\vec\omega} = \frac {[\omega\times\hat x]\times\dot{\vec r}_1} {r_1} + \frac {\hat x\times \ddot{\vec r}_1} {r_1} - \frac {[\hat x\times\dot{\vec r}_1](\hat x,\dot{\vec r}_1)} {r_1^2} = \frac {\hat x\times \ddot{\vec r}_1} {r_1},$$ $$\vec\omega\times\hat x = \frac {\dot{\vec r}_1} {r_1} - \hat x\frac {(\hat x \dot{\vec r}_1)} {r_1}, \dot{\vec\omega}\times\hat x = \frac {\ddot{\vec r}_1} {r_1} - \hat x\frac {(\hat x \ddot{\vec r}_1)} {r_1}.$$

Если $\omega$ лежит вдоль $\hat z$, то все производные $\hat x$ и $\hat y$ выражаются через производные $r_1$. В частности, $\ddot{\hat y} = \dot{\vec \omega}\times\hat y - \omega^2 \hat y.$
К слову, обобщается на случай произвольного движения путём выбора адекватного вектора $\omega$: решение $\vec{\omega}\times\vec{r}_1=\dot{\vec r}_1-\hat x(\hat x,\dot{\vec r}_1)$ относительно него неоднозначно, это есть плоскость, перпендикулярная (3). Поэтому можно выбрать $\omega$ так, чтоб это был именно угловая скорость относительной системы (до этого момента это не предполагалось).

Подставим в (2)

$$\ddot{\vec{r}}_i = \ddot{x}_i\hat{x} + \ddot{y}_i\hat{y} + 2(\dot{x}_i\omega\times\hat{x} + \dot{y}_i\omega\times\hat{y}) + (x_i\dot{\omega}\times\hat{x} - x_i\omega^2\hat{x} + y_i\dot{\omega}\times\hat{y} - y_i\omega^2\hat{y}).$$

Для $i>2$ это несокращаемое выражение. Поэтому при подстановке в (1) мы получим слева линейную комбинацию производных $r_i$ с коэффициентами, зависимыми от $r_1$ и её производных. Это не очень красиво, по-моему.

Munin, я должен вспомнить что-то ещё из теор. механики или я Вас не понял?

[Munin]

Я не имел в виду механику, я имел в виду чисто геометрию - рассмотреть конфиругационное пространство, многообразие одинаковых взаимных конфигураций, и факторпространство по нему.

[quantum newbie]

Рассмотрим двухчастичную систему: $\vec{r}_1$ и $\vec{r}_2$.
Ищем множество точек $R=(\vec{r}_1,\vec{r}_2)$ таких, что $U_0(\|\vec{r}_1-\vec{r}_2\|)=\operatorname{const}$. Ему принадлежит (при любом виде $U_0$) множество, задаваемое формулой $\|\vec{r}_1-\vec{r}_2\|=c$. Для конкретного $c$ это многообразие $R^3\times S^2$, 5-мерное. Совокупность многообразий образует $R^{+}$ (я не знаю как правильнее эту мысль высказать, что такое фактор-многообразие многообразия по многообразию я не знаю). То есть при любых потенциалах будут $R^3\!\times\! S^2$ слои точек с одним потенциалом.

Трехчастичная система.
Ищем множество точек, для которых $U_0(\|\vec{r}_1-\vec{r}_2\|)+U_0(\|\vec{r}_1-\vec{r}_3\|)+U_0(\|\vec{r}_3-\vec{r}_3\|) = \operatorname{const}$. Это будет, в частности, при

$$\begin{cases} \|\vec{r}_1-\vec{r}_2\| = c_3, \\ \|\vec{r}_1-\vec{r}_3\| = c_1, \\ \|\vec{r}_2-\vec{r}_3\| = c_2. \end{cases}$$

Если произвести линейную замену $\vec{\rho}_1 = \vec{r}_1-\vec{r}_3$ и $\vec{\rho}_2 = \vec{r}_2-\vec{r}_3$ вместо $\vec{r}_1$ и $\vec{r}_2$, получим

$$\begin{cases} \rho_1 = c_1, \\ \rho_2 = c_2, \\ \|\vec{\rho}_1-\vec{\rho}_2\| = c_3. \end{cases}$$

Тогда $\vec{r}_3$ берёт на себя произвол, связанный с $R^3$. Осталось 6 неизвестных на 3 уравнения, то есть 3-мерная поверхностью. Предположительно, это $S^3$.
Получается, $R^3\!\times\! S^3$ является подмножеством множества с интересующей энергией.

[Munin]

quantum newbie в сообщении #729314 писал(а):

что такое фактор-многообразие многообразия по многообразию я не знаю

В исходном многообразии вы выделяете классы эквивалентности, являющиеся многообразиями одинаковых взаимных конфигураций, и рассматриваете многообразие этих классов эквивалентности (то есть, каждый такой класс является точкой).

[quantum newbie]

Munin в сообщении #729530 писал(а):

quantum newbie в сообщении #729314 писал(а):

что такое фактор-многообразие многообразия по многообразию я не знаю

В исходном многообразии вы выделяете классы эквивалентности, являющиеся многообразиями одинаковых взаимных конфигураций, и рассматриваете многообразие этих классов эквивалентности (то есть, каждый такой класс является точкой).

Совсем неочевидно, что на множестве, которое получится после факторизиции исходных точек, можно будет адекватно ввести структуру многообразия. Но это вопрос скорее формально-математический.

Для двух частиц ситуация такая:
изоэнергетический уровень представляет из себя $R^3\!\times\! S^2$, потому что есть две свободы: трансляция и поворот.
после отождествления получаем $R^{+}$, что соответствует, условно говоря, тому, что две частицы можно непрерывно повернуть/переместить так, что одна будет в начале координат, а другая — на положительной оси.

(Оффтоп)

Я так понимаю, $R^{+} \equiv \left[0,\infty\right)$ не может рассматриваться как многообразие формально, а $(0,\infty)$ изоморфно $R$. Всё же не понимаю, как описать тот факт, что какая-то точка является вырожденной.

Для трёх частиц:
систему можно перемещать, в частности, можно добиться того, чтобы одна из частиц была в начале. Систему можно (не всегда, особые случаи пока не рассматриваются) повернуть так, чтоб вторая частица была на выбранной оси $Ox$, а третья — в выбранной плоскости $(xy)$; далее это положение буду называть нормальным. Очевидно, вроде бы, что фактор-многообразием будет похоже на $R^{+}\!\times\! R^2$, вторая на полуоси, третья — где угодно.
изоэнергетический уровен представляет из себя $R^3\!\times\! S^2\!\times\! S^1$. Притом мне не понятно, почему Вы раньше говорили, что повороты порождают $S^3$; если мы возьмём нормально-повёрнутую систему, всевозможные повороты можно однозначно задать положением второй частицы (поворот оси $Ox$, который произвольный) как точки $S^2$ и поворот плоскости $(xy)$, который описывается точкой $S^1$ и соответствует круговому движению третей точки около $Ox$.

Как я понимаю, особые точки, вроде нуля в $R^{+}$, когда две частицы занимают одно положение, или отсутствие нормального поворота, когда первые три частицы лежат на одной прямой, Вы предлагаете не рассматривать как физически невозможные, то есть выколоть их из конфигурационного пространства, так? Не будет ли подобное пренебрежение вести за собой некоторые важные изменения структуры факторизованного многообразия, вроде таких, когда у нас не склеиваются какие-то области, которые без выкалывания склеивались бы? Ведь удаление даже одной точки из окружности делает её отрезком, а здесь, ИМХО, многообразия по-сложней.