Найти спектр оператора

[no_use_for_a_login]

Требуется найти спектр оператора $Af(x) = \int_{-\pi}^{\pi} \sum_{n = -\infty}^{\infty} 2^{-|n|} e^{inx}e^{-int}f(t)dt$ в $L_{2}[-\pi;\pi]$.

Соображения примерно следующие: так как оператор компактен, то спектр $\sigma(A)$ состоит из точечного спектра $\sigma_{p}(A)$ и нуля. Точечный спектр найдем из уравнения $Af=\lambda f$, а вопрос, собственно, в том, куда включить ноль.

В похожих задачах иногда удается подобрать $f(x)$ так, чтобы она обнуляла $(A - \lambda I) f(x)$. (В данном случае, просто $Af(x)$.) Тогда ядро было бы непусто, а соответственно, 0 принадлежал бы точечному спектру. Попробовал взять $f(x) \equiv 1$, получилось $Af(x) = 2\pi$. Это, конечно, еще не о чем не говорит, но я подозреваю, что $\lambda = 0$ лежит не в точечном спектре, скорее всего в непрерывном. Как это показать?

[ewert]

no_use_for_a_login в сообщении #727099 писал(а):

Как это показать?

Ну, например, показать, что остальные собственные функции образуют полную ортогональную систему.

[g______d]

no_use_for_a_login в сообщении #727099 писал(а):

Это, конечно, еще не о чем не говорит, но я подозреваю, что $\lambda = 0$ лежит не в точечном спектре, скорее всего в непрерывном. Как это показать?

Этот оператор унитарно эквивалентен оператору умножения на $2\pi 2^{-|n|}$ в $l_2(\mathbb Z)$ (если я коэффициент правильно посчитал). Соответственно, его собственные значения и есть эти $2\pi 2^{-|n|}$, и других нет. По поводу нуля --- воспользуйтесь определением непрерывного спектра.

[ewert]

g______d в сообщении #727113 писал(а):

По поводу нуля --- воспользуйтесь определением непрерывного спектра.

Не надо -- спектру-то он в любом случае принадлежит.

[g______d]

ewert в сообщении #727117 писал(а):

g______d в сообщении #727113 писал(а):

По поводу нуля --- воспользуйтесь определением непрерывного спектра.

Не надо -- спектру-то он в любом случае принадлежит.

Ну да, спектр замкнут --- я почему-то в вопросе автора еще увидел "определить тип спектра", но там этого нет.

[ewert]

g______d в сообщении #727118 писал(а):

я почему-то в вопросе автора еще увидел "определить тип спектра"

Ну он явно именно этого и хочет. Раз не лежит в точечном спектре -- автоматом лежит в непрерывном.

[g______d]

А, ну да.