Собственные классы и ещё ординалы

[arseniiv]

Дополнением $\bar A \equiv V\setminus A$ собственно класса $A$ может ведь быть тоже собственный класс?

Придумал пример, но не знаю, вдруг там есть ошибка — классы «чётных» и «нечётных» ординалов:
$\begin{array}{l} \alpha\in E \leftrightarrow (\not\exists \beta\in\mathrm{Ord} \mathbin. \alpha=\beta+1) \vee (\exists \beta\in O \mathbin. \alpha=\beta+1), \\ \alpha\in O \leftrightarrow \exists \beta\in E \mathbin. \alpha=\beta+1. \end{array}$
По идее, $E\sim V\sim O$. Тогда и $\bar E = \overline{\mathrm{Ord}}\cup O\sim V$.

[Xaositect]

Классы действительно оба собственные, но понятие равномощности на собственных классах - это как-то не очень хорошо. Лучше сказать, что если бы $E$ или $\bar{E}$ было множеством, то их него с помощью аксиом выделения и замены можно было бы построить множество всех ординалов.

-- Вт май 21, 2013 15:21:39 --

Хотя я бы взял что-нибудь попроще, например $\{x | \varnothing\in x\}$ и $\{x | \varnothing\notin x\}$

[arseniiv]

Xaositect в сообщении #726598 писал(а):

но понятие равномощности на собственных классах - это как-то не очень хорошо

Почему? В NBG доказуемо, что класс собственный, если есть биекция между ним и $V$. Т. е. все собственный классы получаются равномощными. Правда, в ZFC это невыразимо, я правильно понимаю?

А, да, потом мне тоже пришёл в голову пример попроще из $\{x\mid \exists y\mathbin. x = \{y\}\}$ и его дополнения, но я не записал и заснул.

[Xaositect]

arseniiv в сообщении #726842 писал(а):

В NBG доказуемо, что класс собственный, если есть биекция между ним и $V$. Т. е. все собственный классы получаются равномощными.

Равномощные в смысле существует "большая" биекция? В одну сторону тривиально, а в другую можно определять биекцию по частям на иерархии фон Неймана, пользуясь тем, что у собственного класса A мощность $V_\alpha \cap A$ когда-нибудь вылезет за любую заданную мощность, можно ли как-то проще?

arseniiv в сообщении #726842 писал(а):

Правда, в ZFC это невыразимо, я правильно понимаю?

Ну там можно для конкретного класса, задаваемого свойством $Q(x)$ предявлять отношение $F(x, y)$ такое, что $\forall x\exists ! y F(x, y)$, $\forall y\exists x F(x, y)$ и $\forall x (F(x, y)\to Q(x))$

[arseniiv]

Xaositect в сообщении #726918 писал(а):

Равномощные в смысле существует "большая" биекция?

Да.

Xaositect в сообщении #726918 писал(а):

В одну сторону тривиально, а в другую можно определять биекцию по частям на иерархии фон Неймана, пользуясь тем, что у собственного класса A мощность $V_\alpha \cap A$ когда-нибудь вылезет за любую заданную мощность, можно ли как-то проще?

Ой, я немного ошибся. Это следует, если принять аксиому глобального выбора (аксиома выбора для множеств не подойдёт). Она сама из этого утверждения тоже следует. Обычно это утверждение входит в аксиомы NBG (http://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_l ... on_of_size). (Но аксиома глобального выбора обычно, вроде, туда тоже входит.)

[Xaositect]

Ага, я так и думал, что это что-то сильное.