Эквивалентность шара и куба в n-мерном пространстве

[Turegg]

Докажите, что множество $A=\{\text{единичный шар в n-мерном пространстве}\}$ и множество $B=\{\text{единичный куб в n-мерном пространстве}\}$ эквивалентны.

Я предположил, что каждую точку из множества $A$ и $B$ можно пронумеровать числами из множества действительных чисел от 0 до 1. Таким образом получаю, что множество $A$ и множество $B$ эквивалентны множеству действительных чисел от 0 до 1, а значит эквивалентны друг другу. Возможно ли такое решение назвать правильным или же эту задачу надо решать как-то иначе? Помогите разобраться!

[mihailm]

Да, если предположение докажете.

[provincialka]

Эквивалентность в смысле мощности? Или топологическая?
В первом случае можно поступить проще. Покажите, что оба множества "не больше" и "не меньше" континуума.

[ewert]

В первом случае можно ещё проще: показать, что как шар вкладывается в куб, так и наоборот.

Впрочем, топологическая эквивалентность ещё проще в том смысле, что выписывается явно, без ссылки на довольно неочевидного Кантора-Бернштейна.

[provincialka]

ewert в сообщении #725578 писал(а):

В первом случае можно ещё проще: показать, что как шар вкладывается в куб, так и наоборот.

В общем, да, но они все же единичные, а не произвольные. Так что друг в друга входить не могут.

[mihailm]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #725578 писал(а):

...на довольно неочевидного Кантора-Бернштейна.

Кантор-Бернштейн очевиден, но при этом доказывается не в одну строчку)

[Turegg]

Можно математически однозначное соответствие сделать, но я наглядно могу показать только для 1, 2, 3-x мерного пространств. Что будет в других, я не знаю.
Рассмотрим на примере 3-х мерного.
Координаты от 0 до 1 меняются.
Рассмотрим куб, у каждой точки куба есть координаты $(x;y;z)$ (рис. 1).
Теперь рассмотрим шар, у каждой его точки тоже есть координаты $(r,\varphi_{y},\varphi_{z})$ (рис. 2), где $\varphi_{y}$ - угол относительно оси $y$, $\varphi_{z}$ - угол относительно $z$, а $r$ - длина вектора от центра шара.

Вывел зависимость:

$r=\frac{x}{2};$
$\varphi_{y}=4\arccos(y);$
$\varphi_{z}=4\arccos(z);$


рис. 1.

рис. 2.

[ewert]

Turegg в сообщении #725640 писал(а):

я наглядно могу показать только для 1, 2, 3-x мерного пространств.

Тут никакая наглядность не нужна, и вообще не нужны никакие геометрические соображения; нужен лишь элементарный пересчёт. Единичный шар (в обычном смысле шар) задаётся неравенством $\|\vec x\|_2\equiv\sqrt{\sum\limits_{i=1}^nx_i^2}\leqslant1$. Соответственно, единичный куб -- неравенством $\|\vec x\|_{\infty}\equiv\max\limits_{i=1..n}|x_i|\leqslant1$. Вот и подумайте, что куда отображает функция $\vec f(\vec x)=\vec x\cdot\dfrac{\|\vec x\|_2}{\|\vec x\|_{\infty}}$.

[provincialka]

Так и не поняла, в каком смысле эквивалентность. Слова "в n-мерном пространстве" намекают на наличие некоторой топологии. Или нет?

[ewert]

provincialka в сообщении #725662 писал(а):

Слова "в n-мерном пространстве" намекают на наличие некоторой топологии.

Наоборот: размерность линейного пространства сама по себе никакой топологии не предполагает.

[provincialka]

Да я не про размерность... впрочем, дело не в этом. В смысле мощности задача практически тривиальная.

[ewert]

Ровно как и в смысле топологии, если уж захочется топологии.

[provincialka]

Известно, что пространство $\mathbb R^n$ имеет мощность континуума. Значит, и любое его подмножество, содержащее в себе отрезок, имеет такую же мощность.

[ewert]

provincialka в сообщении #725740 писал(а):

Значит, и любое его подмножество, содержащее в себе отрезок, имеет такую же мощность.

Это ссылка на теорему Кантора-Бернштейна. Но я уже говорил, что если уж на неё ссылаться, то нет необходимости дополнительно приплетать к ней ещё и континуум -- достаточно просто взаимной вкладываемости. И на саму теорему ввиду её неэлементарности сылаться неэстетично в ситуации, когда есть вполне элементарная и геометрически очевидная явная биекция.