Существует ли такая группа

[erwins]

пусть $T$ множество по сложению и умножению
$a,b,c \in T $
$\forall a,b$ $\exists c \rightarrow a\cdot b=c$
$\forall b,c $ $\exists a \rightarrow a\cdot b=c$
$\forall a,c$ $\exists b \rightarrow a\cdot b=c$
$\forall a,b$ $\exists c \rightarrow a+b=c$
$\forall b,c$ $\exists a \rightarrow a+b=c$
$\forall a,c$ $\exists b \rightarrow a+b=c$

кроме того существует отображение $f$ $T \rightarrow Z_p$ такое что $f(a)+f(b)=f(a+b)$
$f(a)f(b)=f(ab)$
$\forall k\in Z_p \exists a \rightarrow f(a)=k$

что можно сказать
1) у $T$ нет 0 иначе бы a \cdot 0=b нарушало бы условия
2) значений $T$ больше чем p
3) $T$ не обязательно коммутативно по сложению и умножению

[Xaositect]

Вообще, такое отображение существует с любой системы $T$ с двумя операциями: $f(x) = 0$. Но я думаю, это вряд ли то, что Вам нужно, так что скажите, что еще Вы от этого отображения хотите.

[erwins]

пока просто пока я хочу выяснить таблицу сложения и умножения $T$ хотя бы для случая $Z_3$
сколько значений из $T$ будут переходить в 0 в зависимости от p, сколько значений в $T$ в зависимости от p

[Xaositect]

Да, я из первого поста не понял - $T$ все-таки группа по сложению или нет? Вы там позже говорите, что в $T$ нет нуля - это что значит?

[erwins]

Xaositect в сообщении #725586 писал(а):

такое отображение существует с любой системы $T$ с двумя операциями: $f(x) = 0$

можно тут пример, что такое с двумя отображениям?

-- Вс май 19, 2013 01:08:51 --

$T$ группа и по сложению и по умножению

[Xaositect]

Под "системой с двумя операциями" я понимаю множество $T$ с двумя заданными на нем операциями $+$ и $\cdot$. Абсолютно произвольными.

[erwins]

в $T$ не может быть нуля просто потому что это будет противоречить определению

[Xaositect]

erwins в сообщении #725594 писал(а):

в $T$ не может быть нуля просто потому что это будет противоречить определению

в $T$ обязан быть нуль по определению группы.

-- Вс май 19, 2013 01:19:20 --

Собственно, это значит только одно - что любое отображение тривиально. Теперь Вам осталось это только написать.

[erwins]

$T$ получается не группа.
точнее не распространяем понятие единичного элемента и обратного.

пока интересен сам факт существует или нет, если существует, то попробую построить, сейчас просто не понятен размет даже для $p=3$

[Sonic86]

erwins, Вы хотите найти поле с нетривиальной группой автоморфизмов? $\mathbb{Z}[\zeta], \zeta^p=1$ с автоморфизмами $\sigma(a_0+a_1\zeta^g+...+a_{p-2}\zeta^{g^{p-2}})=a_0+a_1(\zeta^g)^g+...+a_{p-2}(\zeta^{g^{p-2}})^g$ пойдет (искомый Вам гомоморфизм - композиция $\sigma$ и эпиморфизма в $\mathbb{Z}_p[\zeta]$)?

[erwins]

Точно не автоморфизм так как в $T$ нет нулей

[Sonic86]

Нет, я не понял.

Если Вы берете область целостности (или даже просто коммутативное кольцо с единицей?), то в ней наверняка нейтральный элемент по сложению является нулем по умножению (нулем называется такое $z$, что $(\forall x)zx=z$). Вы хотите, чтобы $T$ не содержало нуля?

Буду писать формальные примеры, где-нибудь на 5-й попытке станет понятнее.
Положим $a\cdot b := a+b$. Тогда Вы можете взять в качестве $T$ любую циклическую группу с $p\mid |T|$. Пойдет?