Предел

[Limit79]

$\lim\limits_{x \to 0} \left ( \cos(x) \right ) ^{\frac{1}{\sin^2(x)}}$

Пробовал свести его ко второму замечательному пределу заменой $\cos(x)=t+1$, но ничего хорошего не получилось.

Есть еще мысль: подставить $\cos(x) = \pm \sqrt{1-\sin^2(x)}$, но не знаю, какой знак брать.

И еще одна мысль: $\cos(x) \sim 1-\frac{x^2}{2} $ и $\sin^2(x) \sim x^2$ при $x \to 0$. Первая эквивалентность неверна.

Вопрос: как будет рациональнее?

Спасибо!

[Shtorm]

Вообще такие пределы сводят ко 2-му замечательному или по правилу Лопиталя.

[Limit79]

Shtorm
Я пытаюсь свести его ко второму замечательному пределу, но третья моя мысль оказалась неверна, а во второй проблема с выбором знака. Или можно еще как-то?

[Shtorm]

Limit79 в сообщении #725381 писал(а):

но не знаю, какой знак брать.

Берите плюс, так как в окрестности нуля косинус положительный.

[Limit79]

Shtorm
Точно! Спасибо за помощь!

[Shtorm]

И соответственно при сведении предела ко 2-му замечательному - данный предел легко решается в уме.

[Cash]

Limit79 в сообщении #725386 писал(а):

Shtorm
Я пытаюсь свести его ко второму замечательному пределу, но третья моя мысль оказалась неверна, а во второй проблема с выбором знака. Или можно еще как-то?

Третья мысль - это с разложением в ряд Тейлора? И почему неверна? По-моему - единственная здравая мысль.
Запишите свое выражение $f(x)^{g(x)}$ как $\exp[g(x) \ln{f(x)}]$ и берите достаточное количество членов разложения в ряд (для уверенности советую писать равенства с o-малыми). Способ универсальный и безотказный.

[SpBTimes]

Зачем c корнями какими-то?? $\cos(x) - 1 = 2\sin^2(x/2) \sim x^2/2$

[Limit79]

Shtorm
Ну да, дальше там уже элементарно

Cash
Как мне кажется, при таком представлении будет проще Лопиталить степень, ибо Тейлора надо еще расписывать. А чем Вам не нравится сведение ко второму замечательному пределу?

[SpBTimes]

Limit79 в сообщении #725400 писал(а):

А чем Вам не нравится сведение ко второму замечательному пределу?

Это и есть сведение ко второму замечательному, причем универсальное, т.к., если $f(x) \to 1$, то $\ln(f(x)) \sim f(x) - 1$

[Limit79]

SpBTimes
Иногда какие-то частные случае рациональнее универсальных. А Ваш способ мне понравился больше всего. Знать тригонометрию - круто Спасибо!

-- 18.05.2013, 15:03 --

SpBTimes
Но ведь $2\sin^2(x/2) = 1-\cos(x)$

[Otta]

Знания тригонометрии понадобились бы в минимальном объеме, если в основании вместо косинуса написать его квадрат, а показатель, соответственно, в два раза уменьшить.

[provincialka]

Достаточно основного триг. тождества. Предел есть экспонента от $\frac{\cos x-1}{\sin^2x}$. Домножьте числитель и знаменатель на $\cos x+1$

[levaly]

Решение вопроса, шаг за шагом:
http://www.symbolab.com/solver/limit-ca ... ((%5Ccos(x))%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csin%5E%7B2%7D(x)%7D%7D)

[Urnwestek]

(Оффтоп)

levaly в сообщении #798819 писал(а):

Решение вопроса, шаг за шагом: http://www.symbolab.com/solver/limit-ca ... ((%5Ccos(x ))%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csin%5E%7B2%7D(x)%7D%7D)

Вы узнали о системах компьютерной алгебры и захотели поделиться радостью? (: