Объем шара на многообразии Штифеля

[Юстас]

Вопрос от дилетанта в дифференциальной геометрии.
Пусть $V_{k,D}$ - многообразия Штифеля, т.е. множество $D\times k \ (D\geq k)$ матриц с ортонормированными столбцами, вложенное в $\mathbb R^{D\times k}$.
Возник следующий вопрос: пусть $B(r)$ - шар радиуса $r$ в $V_{k,D}$ относительно Евклидовой нормы (т.е. нормы Фробениуса).

Показать, что существует абсолютная константа $C>1$ (не зависящая от $D$), удовлетворяющая $\frac{{\mathrm vol}(B(2r)}{{\mathrm vol}(B(r))}\leq C^{kD}$, где ${\mathrm vol}$ - площадь на $V_{k,D}$ (ясно, что степень можно уменьшить до ${\mathrm dim}(V_{k,D})=kD-\frac 1 2 k(k+1)$, но это не важно).

Для $r\to 0$ неравенство очевидно, для $k=D$ можно воспользоваться формулой Вейля, дающей явное выражение объема, а что делать в общем случае?

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Геометрия» в форум «Математика (общие вопросы)»
Перенёс в соответствующий раздел. Пожалуйста, не создавайте темы в архивных разделах форума.