Простая задачка по теории вероятностей.

[kisupov]

Здравствуйте.

Задача. Имеются случайным образом выбранные из интервала $\[\mathcal{D}=\left[ 0,\ \ \rho -1 \right]\]$ целые числа $\[x\]$ и $\[y\]$, где $\[\rho \]$ – произведение натуральных чисел $\[{{p}_{1}},{{p}_{2}},...,{{p}_{n}}\]$.

Для $\[x\]$ и $\[y\]$ вычислены характеризующие их интервалы $\[{{I}_{{x}/{\rho }\;}}=\left[ \underline{{x}/{\rho }\;},\,\,\overline{{x}/{\rho }\;} \right]\] $ и $\[{{I}_{{y}/{\text{P}}\;}}=\left[ \underline{{y}/{\rho }\;},\,\,\overline{{y}/{\rho }\;} \right]\]$, каждый из которых локализует отношение (результат деления) соответствующего числа ($\[x\]$ или $\[y\]$) на $\[\rho \]$.

Ширина (диаметр) этих интервалов определяется значениями $\[d\left( {{I}_{{x}/{\rho }\;}} \right)\] $ и $\[d\left( {{I}_{{y}/{\rho }\;}} \right)\] $. Необходимо найти вероятность того, что $\[{{I}_{{x}/{\rho }\;}}\]$ и $\[{{I}_{{y}/{\rho }\;}}\]$ пересекаются при равномерном распределении значений $\[x\]$ и $\[y\]$ в пределах $\[\mathcal{D}\]$, т.е. что выполняется условие $\[\min \left( \overline{{x}/{\rho }\;},\ \overline{{y}/{\rho }\;} \right)-\max \left( \underline{{x}/{\rho }\;},\ \underline{{y}/{\rho }\;} \right)\ge 0\]$.

Решение. Интервал $\[{{I}_{{x}/{\rho }\;}}\]$ суть отрезок длиной $\[d\left( {{I}_{{x}/{\rho }\;}} \right)\]$, лежащий внутри $\[\left[ 0,\ \ 1 \right)\]$. Проецируя его на $\[\mathcal{D}\]$ получаем отрезок $\[{{J}_{x}}\]$ длины $\[\left| {{J}_{x}} \right|=\rho \cdot d\left( {{I}_{{x}/{\rho }\;}} \right)\]$. Аналогичным образом определяем отрезок $\[{{J}_{y}}\]$ длины $\[\left| {{J}_{y}} \right|=\rho \cdot d\left( {{I}_{{y}/{\rho }\;}} \right)\]$.

Отсюда вероятность $\[P({{I}_{{x}/{\rho }\;}}\cap {{I}_{{y}/{\rho }\;}})\]$ непустого пересечения $\[{{I}_{{x}/{\rho }\;}}\]$ и $\[{{I}_{{y}/{\rho }\;}}\]$ определяется геометрической вероятностью пересечения $\[P({{J}_{x}}\cap {{J}_{y}})\]$, что равносильно попаданию точки $\[y\]$, выбираемой наугад из $\[\mathcal{D}=\left[ 0,\ \ \rho -1 \right]\] $, в отрезок $\[J\]$ длины $\[\left| J \right|=\left| {{J}_{x}} \right|+\left| {{J}_{y}} \right|\]$. Данную вероятность определяем по формуле:

$\[P({{J}_{x}}\cap {{J}_{y}})=\frac{\left| J \right|}{\left| \mathcal{D} \right|}=\frac{\rho \cdot d\left( {{I}_{{x}/{\rho }\;}} \right)+\rho \cdot d\left( {{I}_{{y}/{\rho }\;}} \right)}{\rho }=d\left( {{I}_{{x}/{\rho }\;}} \right)+d\left( {{I}_{{y}/{\rho }\;}} \right),\]$

при условии, что $\[d\left( {{I}_{{x}/{\rho }\;}} \right)\]$ и $\[d\left( {{I}_{{y}/{\rho }\;}} \right)\]$ не превышают 0.5 (иначе $\[P({{J}_{x}}\cap {{J}_{y}})=1\]$).

Вызывает сомнение корректность приведенного решения. Хотелось бы услышать мнение специалистов.

[kisupov]

Можно поставить вопрос по-другому: есть отрезок ${A}$ длины ${L}_{1}$ и 2 отрезка ${B}$ и ${C}$ длины ${L}_{2}$ и ${L}_{3}$ соответственно, расположенные внутри ${A}$. Какова вероятность, что ${B}$ и ${C}$ пересекаются (имеют общие точки) ?