Равенство треугольников

[KiberMath]

Задание:
Докажите, что если угол, прилежащая к нему сторона и сумма двух других сторон одного треугольника соответственно равны углу, прилежащей к нему стороне и сумме двух других сторон другого треугольника, то такие треугольники равны.

К решению есть
указание:
Пусть в треугольниках АВС и $A_1B_1C_1$ угол А = углу$A_1$ и
AC=$A_1C_1$, АВ+ВС=$A_1B_1+B_1C_1$. Продолжить стороны АВ и $A_1B_1$ на отрезки BD=BC и B_1D_1 = B_1C_1 и рассмотреть треугольники ADC и A_1D_1C_1

Единственное, что я заметил, что эти треугольники (ADC и A_1D_1C_1) равны, но с почему же равны АВС и $A_1B_1C_1$ ?

[Brukvalub]

Воспользуйтесь тем, что равнобедренные треугольники ADC и $A_1D_1C_1$ равны, и сведите доказательство к признаку равенства треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам.

[KiberMath]

Brukvalub
ADC и равнобедренные???

[Brukvalub]

Ошибку держал, на самом деле нужно использовать равнобедренные треугольники CDB и $C_1D_1B_1$.

[Батороев]

Как вариант - "состыковать" равные треугольники $ ADC $ и $ A_1D_1C_1 $ по сторонам $ AC $ и $ A_1C_1 $ (совместив $ A $ c $ C_1 $, а $ C $ c $ A_1 $).
По полученному параллелограму доказать равенство углов, на которые указывает Brukvalub, можно будет и без доказательства равенства равнобедренных треугольников $ CDB $ и $ C_1D_1B_1 $.

[KiberMath]

Батороев
Ну параллелограм бы получился, елси бы при таком наложении совпали точки B и B_1
Но они могут и не наложиться друг на друга, так как равенство углов
А и С_1 вроде бы неоткуда не следует...
Что было бы возможно если бы A_1B_1 = AB и C_1B_1 = CB
Расскажите ваше решение по подробнее

Добавлено спустя 1 час 24 минуты 16 секунд:

Понял в чем дело...
Дело в том, что задачки нужно решать на свежую голову )
и рисунки делать поприличнее...



Большие треугольники ADC и A_1D_1C_1 равны по двум сторонам и углу, откуда следует, что равны углы D иD_1, равны стороны D_1C_1 и DC
Треугольники В_1D_1C_1 и ВDCравнобедренные по построению откуда следует, что углы B_1C_1D_1, D_1, BCD, D равны...
Поэтому треугольники B_1C_1D_1 и BCDравны по стороне и 2-м углам
Откуда следует, что сторона B_1C_1 = BC
А из равенства суммы сторон (условие) AB=A_1B_1
Откуда и следует, что исходные треугольники равны по 3 сторонам чтд

[Батороев]

KiberMath писал(а):

Батороев
Ну параллелограм бы получился, елси бы при таком наложении совпали точки B и B_1
Но они могут и не наложиться друг на друга, так как равенство углов
А и С_1 вроде бы неоткуда не следует...
Что было бы возможно если бы A_1B_1 = AB и C_1B_1 = CB
Расскажите ваше решение по подробнее

Под "стыковкой" я имел в виду поворот (смотрите свой рисунок) треугольника $ A_1D_1C_1 $ на 180 градусов и приближение к треугольнику $ ADC $, с совмещением вершины $ C_1 $ с $ A $, а вершины $ A_1 $ c $ C $. Такое совмещение возможно, т.к. по условию $ AC = A_1C_1 $.
Полученный четырехугольник $ D_1ADC $ является параллелограмом потому, что противоположные стороны равны ($ AD = D_1C $) и параллельны (равны внутренние накрест лежащие углы $ DAC $ и $ D_1CA $).
Далее можно было бы рассмотреть противоположные углы полученного параллелограма $ D_1AD $ и $ D_1CD $, из равенства которых легко доказывается равенство углов $ ACB $ и $ CAB_1 $ (он же $ A_1C_1B_1 $), а соответственно, равенство исходных треугольников по равенству одной из сторон и прилежащих к ней двух углов.

Но ведь Вы уже и так решили задачу

KiberMath писал(а):

[KiberMath]

Батороев

Цитата:

Но ведь Вы уже и так решили задачу

Ну и что ) Я все равно с интересном посмотрел другой ход решения...
Я тогда просто по другому "склеивал" треугольники, вот и не получилось (