Гомоморфизм колец

[somebody_someone]

Какие можно привести примеры гомоморфизма из кольца $A$ в кольцо $B$, чтобы образ не являлся главным идеалом $B$?
Спасибо!

[Chernoknizhnik]

Вы имеете в виду для произвольных колец $A$ и $B$ построить такой морфизм? Если да, то это невозможно, если $B$ - кольцо главных идеалов. Кроме того, образ кольца при гомоморфизме $A\rightarrow B$ не обязан быть идеалом $B$ (почему?).

А может лучше начать с примера неглавного идеала?

[somebody_someone]

Да, действительно ошибка вышла: гомоморфизм нужен такой, чтобы образ не был идеалом!

[Joker_vD]

somebody_someone в сообщении #724600 писал(а):

Да, действительно ошибка вышла: гомоморфизм нужен такой, чтобы образ не был идеалом!

$\subset\colon\mathbb Z\to \mathbb Q$.
Забавный такой биморфизм.

[somebody_someone]

Joker_vD в сообщении #724616 писал(а):

$\subset\colon\mathbb Z\to \mathbb Q$.

И какую функцию предлагаете?
Я как-то даже не понимаю толком вашей записи: при чем здесь отношение $\subset?

[Chernoknizhnik]

Функция, вкладывающая $\mathbb{Z}$ в $\mathbb{Q}$.

[somebody_someone]

Chernoknizhnik в сообщении #724634 писал(а):

Функция, вкладывающая $\mathbb{Z}$ в $\mathbb{Q}$.

Нет, думаю, это не подойдет, должно найтись что-нибудь попроще, потому что это всего лишь первый и последний семестр алгебры :)

[Xaositect]

Куда уж проще-то? У вас вообще какие примеры колец были?

[somebody_someone]

Xaositect в сообщении #724637 писал(а):

Куда уж проще-то? У вас вообще какие примеры колец были?

Так обычные функции от аргумента. Может, я просто не понимаю, как выразить это самое вложение, поскольку впервые такое вижу.

-- 16.05.2013, 17:48 --

Мне посоветовали поступить таким образом: "Придумайте гомоморфизм и образ, а потом уже кольцо В, в котором образ будет подкольцом, но не идеалом."

[Xaositect]

somebody_someone в сообщении #724639 писал(а):

Так обычные функции от аргумента. Может, я просто не понимаю, как выразить это самое вложение, поскольку впервые такое вижу.

Так это. $f(x) = x$

[somebody_someone]

Xaositect в сообщении #724668 писал(а):

Так это. $f(x) = x$

Это и есть вложение?
Но если мы домножим это целое x на рациональное число, то получим рациональное - одно условие для кольца выполнилось.
Осталось второе: нужно, чтобы множество Z было подгруппой по сложению - это тоже выполняется.
В чем подвох? Мне кажется, я в упор чего-то не замечаю!

[Xaositect]

Не, после того, что Вам посказали, Вы давайте уже сами доказывайте, что это гомоморфизм, и что у него образ не идеал.

[somebody_someone]

Ну смотрите сами!
Я использую два условия для определения идеала:
1) это должна быть подгруппа по сложению (есть 1, есть обратные элементы, выполняется замкнутость);
2) если умножаю элемент из идеала на элемент из кольца, то получаю элемент из идеала.
Ха-ха, почему-то в голове поменялись местами множества и получалось рациональное число, вместо целого, при домножении.
Все, второе условие не выполнятеся :)

[Xaositect]

А как Вы доказываете, что второе выполняется?

[somebody_someone]

Xaositect в сообщении #724685 писал(а):

А как Вы доказываете, что второе выполняется?

Уже исправлено, справедливость восторжествовала. Спасибо!
Переклинило что-то...