Решил, но боюсь что неправильно

[GlazkovD]

Выполняю контрольную работу по вышке(свою).
Решил криволинейный интеграл 2 типа. Однако боюсь что неправильно.
Если кому не лень, проверьте, буду приблогадарен.
(Если вдруг будут ошибки, не пишите правильное конечное решение. Лучше скажите где неправильно и почему.Я хочу дойти до всего сам)

Вычислить криволинейный интеграл

$$\int\limits_{AB}^{} x dy - y dx$$

вдоль дуги циклоиды

$$x=a(t-sint)$$

$$y=a(1-cost)$$

от точки

$$A(2{\pi}a,0)$$

до точки

$$B(0,0)$$

Функция циклоиды задана параметрически.
Нужно перейти от криволинейного интеграла к обычному.
Сейчас найду пределы интегрирования.

Нижний предел интегрирования
Приравняю функции x(t) y(t) к соответственной точке A.

$$x(t)$$

$$at-asint=2{\pi}a$$

На a мы сократим. Получится

$$t-sint=2{\pi}$$

Видно что

$$t=2{\pi}$$

$$y(t)$$

$$0=a(1-cos(t))$$

Видно что

$$t=2{\pi}$$

Итак. Нижний предел интегрирования

$$t=2{\pi}$$

Верхний предел интегрирования

$$0=a(t-sin(t))$$

$$t=0$$

$$0=a(1-cos(t))$$

$$t=0$$

Итак. Верхний предел интегрирования

$$t=0$$

Интегрировать от

$$t=2{\pi}$$

до

$$t=0$$

не удобно.
Воспользуюсь свойством

$$\int\limits_{AB}^{} P dx + Q dy$$

$$= -$$

$$\int\limits_{BA}^{} P dx + Q dy$$

Тогда условие задания перепишем следующим образом

$$\int\limits_{AB}^{} x dy - y dx$$

$$=-$$

$$\int\limits_{BA}^{} x dy - y dx$$

Воспользуюсь переходом к обычному интегралу по свойству

$$\int\limits_{BA}^{} P(x,y) dx + Q(x,y) dy$$

$$=$$

$$\int\limits_{b}^{a} [P(x(t),y(t)) x'(t) + Q(x(t),y(t)) y'(t)] dt$$

В итоге подводя все под свое условие задачи

$$\int\limits_{AB}^{} x dy - y dx$$

$$=-$$

$$\int\limits_{BA}^{} x dy - y dx$$

$$=$$

$$=-$$

$$\int\limits_{0}^{2{\pi}} [a(t-sin(t))*(a(1-cos(t))' -a(1-cos(t))*(a(t-sin(t))' ] dt$$

Ну а дальше считать его не интересно. Предоставлю это дело MathCADу.

[Brukvalub]

Правильно, но лучше самому досчитать до конца.

[GlazkovD]

Brukvalub огромное спасибо.
Аж от души отлегло. А то заснуть немог. Теперь знаю что его можно записать в контрольную.

А досчитать доконца-досчитаю(я про последний определенный интеграл).
причем вручную. Не проблема. Даже для оформления контрольной лучше будет
если будут все выкладки.
Но всеравно проверю MathCADом.