Выразить интеграл через Эйлеровы

[tdayne]

Ребят привет, задание выразить интеграл через Эйлеровы:

$\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{e^{ikx}-1-ikx}{x^{1+a}}dx}$

Очевидно, что нужно приводить к гамма функции вида

$$\Gamma(p)=\int\limits_0^{+\infty}x^{p-1}e^{-x}dx$$

, но никак не соображу с заменой, не подскажете? Сначала попытался сделать замену $t=ikx$ , но не вышло, в числителе не удается собрать экспоненту.

[tdayne]

Ребят, неужели никто не натолкнет на решение?

[ewert]

Проинтегрируйте пару раз по частям при $a\in(1;2)$, загоняя под знак дифференциала знаменатель.

[provincialka]

Если разбить на 3 иентеграла, два последних окажутся табличными.

[Ms-dos4]

Цитата:

Если разбить на 3 иентеграла, два последних окажутся табличными.

Просто разбивать нельзя - там как раз эти 2 интеграла будут расходящимися.

[provincialka]

Ну, не берите определенный - возьмите первообразную. Или не по всему интервалу. Впрочем, это не с6имает проблему.

[Ms-dos4]

Цитата:

Ну, не берите определенный - возьмите первообразную. Или не по всему интервалу. Впрочем, это не с6имает проблему.

ewert уже указал верный путь решения

[ewert]

Если $a\in(1;2)$ (а в противном случае интеграл расходится), то оба интегрирования по частям законны. И приводят к гамма-функции вкупе с чем-то алгебраическим.

[tdayne]

Интегрирую по частям один раз:
$\frac{-1}{ax^a}\left ( e^{ikx}-1-ikx\right ) + \frac{ik}{a}\int_{0}^{\infty}\frac{1}{x^a}\left ( e^{ikx}-1 \right )dx$ , не знаю как поставить пределы первого члена, там соответственно от 0 до бесконечности. Не понятно как предел найти этой части.

[Otta]

tdayne в сообщении #724805 писал(а):

Не понятно как предел найти этой части.

Где непонятно, в нуле или в бесконечности? Оба нулевые, что ж там непонятного.

[tdayne]

В нуле да, а в бесконечности 0 никак не получается. Экспонента быстрее стремится в бесконечность, чем степень икса, поэтому и предел дроби бесконечность....

[SpBTimes]

tdayne в сообщении #725312 писал(а):

Экспонента быстрее стремится в бесконечность, чем степень икса, поэтому и предел дроби бесконечность....

Вообще-то у вас не обычная экспоненты, а с пупырышками: $|e^{ikx}| = 1$

[tdayne]

Я вот только одного не пойму, почему интеграл существует только при а в промежу
тке от 1 до 2 ?

[Otta]

А в каких точках у него особенности?
И при каких значениях $a$ он сходится в каждой из них?

[tdayne]

Ну вот при $a =-1$ расходится, это понятно, а при $a =0$ уже неизвестно