Аксиома выбора в физике

[lena7]

Очень многие факты из анализа и других областей математики опираются на аксиому выбора (AC). Вопрос "верности" AC для математики не имеет смысла. Но математика используется в физике, как поставщик моделей для описания разных явлений. Поэтому вопрос: можно ли проверить верность AC экспериментально? Другими словами, есть ли какой-нибудь теоретически выведенный физический закон, верный (в теории) тогда и только тогда, когда верна AC и проверенный экспериментально?

Например, функциональный анализ имеет многочисленные приложения в квантовой механике, но значительная его часть жёстко опирается на AC...

[ewert]

lena7 в сообщении #724233 писал(а):

функциональный анализ имеет многочисленные приложения в квантовой механике, но значительная его часть жёстко опирается на AC...

Ну, КМ опирается не на весь ФА, а в первую очередь на гильбертов и при этом сепарабельный, а зачем там аксиома выбора?

[lena7]

Ну может быть не там. Это просто был пример пальцем в небо.

[ewert]

Дело в том, что проверить можно лишь то, что можно посчитать. Теоремы существования экспериментально не проверишь. Аксиома же выбора в принципе не конструктивна и ни на какие алгоритмы вывести не может.

[lena7]

Вот, кажется, что-то релевантное: Brunner, Svozil, Baaz "Axiom of Choice in Quantum Theory" (ссылка).

Но, к сожалению, не знаю ни квантовой физики, ни соответствующей математики. Кто может сказать, о чём говорится в этой статье?

[apriv]

ewert в сообщении #724237 писал(а):

lena7 в сообщении #724233 писал(а):

функциональный анализ имеет многочисленные приложения в квантовой механике, но значительная его часть жёстко опирается на AC...

Ну, КМ опирается не на весь ФА, а в первую очередь на гильбертов и при этом сепарабельный, а зачем там аксиома выбора?

Хотя бы для существования адекватного множества вещественных чисел.

[Oleg Zubelevich]

lena7 в сообщении #724233 писал(а):

Поэтому вопрос: можно ли проверить верность AC экспериментально?

нет, просто потому, что ни в каком эксперименте не присутствует бесконечность, бесконечность бывает только в математических моделях.
Подобный вопрос уже возникал когда-то давно. Только вместо аксиомы выбора рассматривали пятый постулат.

[iifat]

lena7 в сообщении #724352 писал(а):

Кто может сказать, о чём говорится в этой статье?

Ну, насколько я знаю (точнее сказать, не знаю) английского языка, в предисловии они обещают показать, что базовые понятия (fundamental notions) квантовой теории требуют аксиомы выбора. Также не могу проверить, но, по крайней мере, в постановке вопроса вы не одиноки

[epros]

apriv в сообщении #724415 писал(а):

Хотя бы для существования адекватного множества вещественных чисел.

А чем конструктивные действительные числа неадекватны? По-моему, аксиома выбора в физике если и нужна, то только затем, чтобы физики не напрягали свои мозги неразрешимыми вопросами "чистого существования" (а сразу бы отвечали на них положительно). Но к экспериментально верифицируемым вещам она, очевидно, никакого отношения не имеет.

[Oleg Zubelevich]

epros в сообщении #724485 писал(а):

По-моему, аксиома выбора в физике если и нужна, то только затем, чтобы физики не напрягали свои мозги неразрешимыми вопросами "чистого существования"

они этого и так не делают.

вообще, статья примечательная в своем роде. образцовая, вот как можно высосать тематику из пальца. статья вроде-бы про уравнение Шредингера, но с точки зрения физики совершенно бессодержательная. с точки зрения математики, кстати, тоже, поскольку новых результатов не получено. ИМХО

[apriv]

epros в сообщении #724485 писал(а):

apriv в сообщении #724415 писал(а):

Хотя бы для существования адекватного множества вещественных чисел.

А чем конструктивные действительные числа неадекватны? По-моему, аксиома выбора в физике если и нужна, то только затем, чтобы физики не напрягали свои мозги неразрешимыми вопросами "чистого существования" (а сразу бы отвечали на них положительно). Но к экспериментально верифицируемым вещам она, очевидно, никакого отношения не имеет.

Ну и как же определить вещественные числа без аксиомы выбора? Есть несколько неэквивалентных способов, и ни один из них не приводит к хорошей теории; я уж не говорю про то, что будет дальше происходить с гильбертовыми пространствами.

[epros]

apriv в сообщении #724539 писал(а):

ни один из них не приводит к хорошей теории

Не знаю, что Вы именуете "хорошей теорией", но конструктивные действительные числа определяются фундаментальными последовательностями рациональных чисел. Т.е. подход примерно тот же, что в классическом анализе. Разница разве что в том, что в конструктивном анализе отношение равенства определено не на всех парах чисел. Впрочем, классический анализ тоже понимает, что равенство действительных чисел не всегда разрешимо, так что не вижу принципиальной разницы. Да, и ещё: конструктивный анализ не декларирует существование некоторых чисел, существование которых классический анализ декларирует, однако предоставить способ вычисления оных чисел не может.

[_hum_]

Oleg Zubelevich в сообщении #724529 писал(а):

вообще, статья примечательная в своем роде. образцовая, вот как можно высосать тематику из пальца. статья вроде-бы про уравнение Шредингера, но с точки зрения физики совершенно бессодержательная. с точки зрения математики, кстати, тоже, поскольку новых результатов не получено. ИМХО

Хм..а мне показалось, что они попытались показать, что мат. аппарат квантовой механики принципиально не может обойтись без аксиомы выбора. А это, по-моему, довольно хороший результат, говорящий о том, что либо этот аппарат "избыточен" (и КМ можно сформулировать, задействуя более "экономный" набор средств), либо, действительно, аксиома выбора "физична".

[ewert]

Я вам не скажу за всю Одессу КМ, но вот УШ не требует аксиомы выбора ни разу. Вот в точности ни разу, с точностью до одной десятой.

Как, кстати, и вещественные числа. Ровно с той же точностью.

[apriv]

epros в сообщении #724556 писал(а):

apriv в сообщении #724539 писал(а):

ни один из них не приводит к хорошей теории

Не знаю, что Вы именуете "хорошей теорией", но конструктивные действительные числа определяются фундаментальными последовательностями рациональных чисел. Т.е. подход примерно тот же, что в классическом анализе.

В классическом анализе все-таки подходы бывают разными, хотя все они приводят к одному результату. Наверное, действительно, последовательности Коши и, скажем, сечения Дедекинда дадут одно и то же в аксиоматике Цермело—Френкеля. Меня смутило то, что в произвольном топосе эти конструкции могут привести к разным результатам. Не очень понятно, что же Вы подразумеваете под «конструктивной математикой»: отсутствие закона исключенного третьего или только аксиомы выбора?