sin z = z - счетное число решений

[gugaevkirill]

Пытаюсь доказать, что у комплексного уравнения $\sin z = z$ счетное число решений. То, что их не более чем счетное следует из голоморфности - у решений нет предельной точки. А вот как доказать что их не конечное число? Вроде можно по теореме Руше, но у меня не получается, помогите разобраться??

[Otta]

Малой теоремой Пикара воспользуйтесь. Счетное число раз. :)

[sup]

Боюсь, что одной лишь теоремы Пикара не хватит. Например, $ze^z$ имеет ровно один корень. Лучше действовать от противного.
Пусть корней конечное количество, $P(z)$ - полином с теми же самыми корнями. Рассмотрите функцию
$\ln \frac {\sin z -z}{P(z)}$
Что Вы можете сказать про эту функцию? Найдите ее вид. Получите противоречие.

[Otta]

sup в сообщении #724046 писал(а):

Боюсь, что одной лишь теоремы Пикара не хватит.

В данном случае хватит. Пикар+периодичность синуса.

-- 15.05.2013, 09:24 --

sup в сообщении #724046 писал(а):

Например, $ze^z$ имеет ровно один корень.

Не поняла. Где опечатка? Может, где-то равенство пропущено? или речь о нулях функции?

[sup]

Вау, мне это и в голову не пришло. Симпатично.

(Оффтоп)

Вот все таки какая вредная вещь стереотипы. А я тут Вейерштрасса с Адамаром сразу вспомнил ...

-- Ср май 15, 2013 10:27:35 --

Otta в сообщении #724047 писал(а):

или речь о нулях функции?

Речь шла о нулях.

[Otta]

Ага.
Я вон для соседней ветки пытаюсь уравнение $\sin z=z-z^3/6$ понять... вот тут уже хужее. Хотя чел, скорее всего, задание неверно переписал. Это я уж больше для себя.

[ewert]

Можно просто по принципу аргумента. Взять большой-большой симметричный квадрат. Пр обходе вдоль нижней и верхней сторон значение синуса крутится по очень-очень большому эллипсу (почти окружности) много-много раз. Правая часть этому кручению не особо мешает, т.к. много меньше по модулю. Ну и приращение аргумента на боковых сторонах -- не более нескольких оборотов. Итого при раздувании квадрата получаем сколь угодно много оборотов.

[Otta]

Да я как раз и думаю за принцип аргумента... но хоцца поизящней оформить.

[gugaevkirill]

С помощью Теоремы Пикара можно решить, да, а вот можно ли как то по другому, без нее) ?

[Otta]

Можно, вот же только что речь шла о принципе аргумента. Прочитайте.