помогите с задачей на билинейную форму

[voipp]

$x,y \in V$надо доказать , что из $f(x,y)=\varepsilon f(y,x)$ следует $\varepsilon = \pm 1$. Моя интуиция подсказывает использовать условие, что сопряженное пространство $V^{*}$ раскладывается в прямую сумму пространств симметричных и кососимметричных линейных форм. Но как использовать не понимаю (

[Otta]

Что так трудно-то. Продолжите равенство еще раз.

[Null]

$f(x,y)=\varepsilon f(y,x)$ для любых $x,y$?

[voipp]

Null в сообщении #722543 писал(а):

$f(x,y)=\varepsilon f(y,x)$ для любых $x,y$?

да.

-- Сб май 11, 2013 21:54:57 --

Otta в сообщении #722536 писал(а):

Что так трудно-то. Продолжите равенство еще раз.

спасибо! вы правы

[Otta]

Билинейность, кстати, тут совсем не участвовала. Но это, наверное, часть какой-то задачи.
Да, и тождественно нулевая функция, само собой, будет исключением.

[voipp]

Еще одна задача. не могу дорешать.
Пусть линейное пространство$W \subset V$, $W^{L}$ ортогональное дополнение $W$ относительно кососимметрической билинейной формы. Доказать, что $dim(W)-dim(W \cap W^{L})$ четное число.

Я предположил , что форма невырожденная, тогда $n=dim(V)$ четное число. И делая несложные расчеты получим доказательство. Для вырожденного случая я так и не смог доказать.

[Xaositect]

Для вырожденного случае выделите подпространство $V_0$, на котором форма равна нулю, и на любом $V_1$ таком, что $V_1\oplus V_0 = V$, форма будет невырождена.

[voipp]

Xaositect в сообщении #723852 писал(а):

Для вырожденного случае выделите подпространство $V_0$, на котором форма равна нулю, и на любом $V_1$ таком, что $V_1\oplus V_0 = V$, форма будет невырождена.

Не понимаю вас. Под вырожденностью формы я имел ввиду $f(x,y)=x^{T}Fy, \ dim(F)=0$.

[Xaositect]

voipp в сообщении #723871 писал(а):

Xaositect в сообщении #723852 писал(а):

Для вырожденного случае выделите подпространство $V_0$, на котором форма равна нулю, и на любом $V_1$ таком, что $V_1\oplus V_0 = V$, форма будет невырождена.

Не понимаю вас. Под вырожденностью формы я имел ввиду $f(x,y)=x^{T}Fy, \ dim(F)=0$.

что такое $\dim F$ для матрицы?

[voipp]

Xaositect в сообщении #723872 писал(а):

voipp в сообщении #723871 писал(а):

Xaositect в сообщении #723852 писал(а):

Для вырожденного случае выделите подпространство $V_0$, на котором форма равна нулю, и на любом $V_1$ таком, что $V_1\oplus V_0 = V$, форма будет невырождена.

Не понимаю вас. Под вырожденностью формы я имел ввиду $f(x,y)=x^{T}Fy, \ dim(F)=0$.

что такое $\dim F$ для матрицы?

Ой $det(F)=0$

[Xaositect]

А, понял, детерминант имеется в виду.

Ну вот и рассмотрите тогда $V_0 = \ker F$. Для любого $y\in V_0$ и для любого $x\in V$ будет $f(x,y) = f(y, x) = 0$. Значит, в подходящем базисе наша матрица будет $\left(\begin{matrix}F' &0\\0&0\end{matrix}\right)$.

[voipp]

Xaositect в сообщении #723879 писал(а):

А, понял, детерминант имеется в виду.

Ну вот и рассмотрите тогда $V_0 = \ker F$. Для любого $y\in V_0$ и для любого $x\in V$ будет $f(x,y) = f(y, x) = 0$. Значит, в подходящем базисе наша матрица будет $\left(\begin{matrix}F' &0\\0&0\end{matrix}\right)$.

ну это ясно. размерность ядра тогда равна $n-r$,а ранг матрицы - r. Но я не понимаю почему "на $V_{1}$ форма будет невырождена". Это связано с рангом матрицы? как это доказать (

[Xaositect]

Да, размер матрицы $F'$ тут как раз будет равен рангу.

[bot]

(voipp)

Неужели не видите ошибок в $LaTeX$? Он ведь сигнализирует при наборее об их наличии и для исправления есть предпросмотр.
1) После слеша перед dim пробела быть не должно
2) Вместо $T$ должно быть $\top$, иначе $x^{T}$ читается как $T^{-1}xT$ - трансформирование вектора с помощью матрицы $T$, а это абсурдно.