Площадь получается ноль, почему?

[number_one]

Задача такая: Найдите площадь, ограниченную

$(x^2+y^2+ax)^2=a(x^2+y^2)\quad$ и

$\quad x^2+y^2=\sqrt 3 ay$

У меня получился ноль.

Переходил к полярным координатам. Получается:

$(r^2+ar\cos\varphi)^2=r^2\; \Rightarrow \; r+a\cos\varphi=1\; \Rightarrow \; r=1-a\cos\varphi$

$r^2=\sqrt 3 ar\sin\varphi \; \Rightarrow \;r=\sqrt 3 a\sin\varphi $

$S=\left|\int\limits_0^\pi d\varphi \int\limits_{\sqrt 3 a\sin\varphi }^{1-a\cos\varphi}rdr\right|=0$

Мне кажется, что где-то есть ошибка...

[Ms-dos4]

$\[\begin{array}{l} {({r^2} + ar\cos \varphi )^2} = a{r^2}\\ {r^4} + 2a{r^3}\cos \varphi + {a^2}{r^2}{\cos ^2}\varphi = a{r^2}\\ {r^2} + 2ar\cos \varphi + {a^2}{\cos ^2}\varphi = a\\ r = \pm \sqrt a - a\cos \varphi \end{array}\]$

[Otta]

number_one
В первом уравнении $a$ в правой части куда-то потерялось.

[Ms-dos4]

Цитата:

В первом уравнении в правой части куда-то потерялось.

(Оффтоп)

я кстати тоже не сразу заметил XD

[Otta]

(Оффтоп)

Нет, я сразу. Понятно, что это еще не всё.

Ms-dos4
В таких условиях лучше, имхо, на множители раскладывать. Разность квадратов, однако. Впрочем,дело хозяйское.
Никто нигде не сравнивал, что больше, верхний предел интегрирования или меньший.
Модуль от греха - это, конечно, мощное лекарство, но удаляющее головную боль вместе с головой. Ноль возникает в таких случаях при избыточности изменения угла. И, думаю, там он и возник.

[number_one]

Спасибо, но все равно получается ноль (тут уже $\pm$ не нужно)

$(r^2+ar\cos\varphi)^2=ar^2\; \Rightarrow \; r+a\cos\varphi=a\; \Rightarrow \; r=a(1-\cos\varphi)$

$r^2=\sqrt 3 ar\sin\varphi \; \Rightarrow \;r=\sqrt 3 a\sin\varphi $

$S=\left|\int\limits_0^\pi d\varphi \int\limits_{\sqrt 3 a\sin\varphi }^{a(1-\cos\varphi)}rdr\right|=0$

[Ms-dos4]

Да откуда у вас там $\[r = a(1 - \cos \varphi )\]$?
Я уже показал, что
$\[r = \pm \sqrt a - a\cos \varphi \]$

[Otta]

number_one
Исправьте уравнение и обратите внимание на это:

Otta в сообщении #723754 писал(а):

Никто нигде не сравнивал, что больше, верхний предел интегрирования или меньший.
Модуль от греха - это, конечно, мощное лекарство, но удаляющее головную боль вместе с головой. Ноль возникает в таких случаях при избыточности изменения угла.

Это все равно как Вас попросили посчитать площадь, ограниченную прямой $y=x$ и осью абсцисс на отрезке $[-1,1]$. У Вас бы она вышла нулевая.

[number_one]

Ms-dos4 в сообщении #723758 писал(а):

Да откуда у вас там $\[r = a(1 - \cos \varphi )\]$?
Я уже показал, что
$\[r = \pm \sqrt a - a\cos \varphi \]$

Хорошо, спасибо. А мы берем плюс или минус в интеграле?

-- 14.05.2013, 15:51 --

Otta в сообщении #723761 писал(а):

number_one
Исправьте уравнение и обратите внимание на это:

Otta в сообщении #723754 писал(а):

Никто нигде не сравнивал, что больше, верхний предел интегрирования или меньший.
Модуль от греха - это, конечно, мощное лекарство, но удаляющее головную боль вместе с головой. Ноль возникает в таких случаях при избыточности изменения угла.

Это все равно как Вас попросили посчитать площадь, ограниченную прямой $y=x$ и осью абсцисс на отрезке $[-1,1]$. У Вас бы она вышла нулевая.

Ок, хорошо, сейчас подумаю

[Алексей К.]

number_one в сообщении #723741 писал(а):

$(x^2+y^2+ax)^2=a(x^2+y^2)\quad$ и

$\quad x^2+y^2=\sqrt 3 ay$

А я бы условие проверил. Разумно в таких случаях вводить параметр с размерностью длины, дабы размерности выглядели корректно: корректно выглядит $x^2+y^2+ax$, корректно второе уравнение. Но в первом напрашивается $(x^2+y^2+ax)^2=a^{\text{\color{magenta}2}}(x^2+y^2)\quad$.
Конечно, нет гарантии, что составители следовали этим соображениям, но, окажись такая кривая в справочнике по кривым, $a$ было бы безусловно в квадрате.

[number_one]

Алексей К. в сообщении #723767 писал(а):

number_one в сообщении #723741 писал(а):

$(x^2+y^2+ax)^2=a(x^2+y^2)\quad$ и

$\quad x^2+y^2=\sqrt 3 ay$

А я бы условие проверил. Разумно в таких случаях вводить параметр с размерностью длины, дабы размерности выглядели корректно: корректно выглядит $x^2+y^2+ax$, корректно второе уравнение. Но в первом напрашивается $(x^2+y^2+ax)^2=a^{\text{\color{magenta}2}}(x^2+y^2)\quad$.
Конечно, нет гарантии, что составители следовали этим соображениям, но, окажись такая кривая в справочнике по кривым, $a$ было бы безусловно в квадрате.

number_one

замечание за избыточное цитирование. Полная цитата предыдущего сообщения здесь совсем не нужна!

А ведь вы правы((( Невнимательно переписал условие... Но, вы не поверите, но если $a^2$, то площадь все равно ноль, она какая-то заколдованная!!!

$$(r^2+ar\cos\varphi)^2=a^2r^2\; \Rightarrow \; r+a\cos\varphi=a\; \Rightarrow \; r=a(1-\cos\varphi)$$

$r^2=\sqrt 3 ar\sin\varphi \; \Rightarrow \;r=\sqrt 3 a\sin\varphi $

$S=\left|\int\limits_0^\pi d\varphi \int\limits_{\sqrt 3 a\sin\varphi }^{a(1-\cos\varphi)}rdr\right|=0$

[Ms-dos4]

Начнём вот с чего. Мы получили
$\[r = a( \pm 1 - \cos \varphi )\]$
Вы знаете, что это за кривая? (Ну, может быть, вы узнаете её в исходном виде - декартовых координатах, в которых она дана).

[Алексей К.]

number_one в сообщении #723769 писал(а):

то площадь все равно ноль, она какая-то заколдованная!

Считать я ленюсь (ограничиваюсь только гениаль простыми штучками), но в такой ситуации полезно выключить ЭВМ, погулять в лесу (в парке на худой конец), перечитать какую-нибудь главу из Е.О., и проч.

[provincialka]

Верхний предел для $r$ должен быть больше нижнего. Проверьте.

[Алексей К.]

number_one в сообщении #723764 писал(а):

А мы берем плюс или минус в интеграле?

Нехороший вопрос. Как будто правило какое-то выводим: "в интегралах всегда берётся плюс" и запоминаем навечно.

ewert в сообщении #217870 писал(а):

Давайте ... так -- отдавайте себе отчёт в каждом шаге.