Вопрос из финансовой математики

[Neytrall]

Даны $X_1,...,X_T, T\in\mathbb{N}$ независимые переменые на $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$. Обозначим сигма-поле : $\mathcal{F}_k:=\sigma(X_1,...,X_k), k=1,...,T$. Так же, обозначим случайную переменную $\tau:=\inf\{k\in \{1,...,T\}|X_k>C\}$

$\mathcal{F}_k$ создана конечной группой $X_1,...,X_T$. Любая $Y_k$, являющаяся $\mathcal{F}_k$-измеримой, имеет форму $f_k(X_1,...,X_k)$, при $f_k:\mathbb{R}^k \rightarrow \mathbb{R}$.
$Y_k:=\mathbb{E}[\tau|\mathcal{F}_k]$. Надо посчитать $f_k$.

Это последнее подзадание и я вообще не понимаю как его решать.

[--mS--]

Ваша случайная величина $\tau$ как-то определена на множестве $\{X_1\leqslant C,\ldots, X_T\leqslant C\}$?

Ну, допустим, она там равна $\pi$.
Представьте $\tau$ в виде

$$\tau=\sum\limits_{i=1}^T I\left(\max_{j\leqslant i-1}X_j\leqslant C, X_i > C\right)+\pi I\left(\max_{j\leqslant T}X_j\leqslant C\right).$$

Где $I(A)$ - бернуллиевская случайная величина, равная единице, если $A$ произошло, и нулю иначе.
А дальше используйте свойства условных матожиданий. Главным образом свойства
1) $\mathsf E(f(X)\,|\,\sigma(X))=f(X)$ a.s. для любой борелевской $f$, для которой УМО определено,
2) $\mathsf E(f(X)Y\,|\,\sigma(X))=f(X)\mathsf E(Y\,|\,\sigma(X))$, при аналогичных оговорках.

[Neytrall]

Я извиняюсь, но я не вижу как из УМО можно вывести $f_k$.
К тому же, такое представление $\tau$ я вижу впервые, у нас на курсе её почти не касались.
$\tau$ это время остановки и она должна быть скорее:

$$\tau=\sum\limits_{i=1}^T[i I\left(\max_{j\leqslant i-1}X_j\leqslant C, X_i > C\right)]+T I\left(\max_{j\leqslant T}X_j\leqslant C\right)$$

[--mS--]

Ну да, $i$ в качестве множителя, конечно. Вот только Вы уверены, что $\tau=T$, если момент остановки не наступил?

Первый вопрос непонятен. Что значит "не знаю, как из УМО вывести $f_k$"? Ваши "$f_k$" - это и есть УМО.

[Neytrall]

Как я понял, это доказательство связанно с американскими опционами, соответственно, если $X_i$ не переходит отметку $C$ до определенного времени $T$, то он останавливается на нём.

Из (1) следует, что $f_k$ это УМО, но я не понимаю, как высчитать $\mathsf E(f(X)\,|\,\sigma(X))$, используя (2).

[--mS--]

Используйте указанные свойства условного математического ожидания.

(Оффтоп)

Вот зарекалась я Вам помогать, да забыла. Вы упорно продолжаете выжимать полное решение, даже когда исчерпывающие подсказки даны.

[Neytrall]

Если я правильно понял условия, то $E(Y|X_1,...X_k)=E(Y|\mathcal{F}_k)=f(X1,...,Xk)$
Так же, $E(Y|\mathcal{F}_k)=E(\tau|\mathcal{F}_k)$
Поэтому, радо просто высчитать $E(\tau|\mathcal{F}_k)$.

Правильно?

[--mS--]

Правильно.