Одно неравенство для неотрицательного оператора

[Lickut]

Пусть $H$ - гильбертово пространство, $A$ - самосопряженный ограниченный оператор в $H$ и $A\ge 0$.
Доказать,что $\forall x\in H$ выполняется неравенство $||Ax||^2\le||A||(Ax,x)$.

Проблема в том,что неравенство в "неудобную" сторону.Пробовал представить $A$ как $A=B^2$, где $B\ge 0$ и попробовать доказать для него,но безрезультатно.

[ewert]

Нет, с корнем банально. Достаточно считать, что норма оператора равна единице, а тогда $\|Ax\|^2=\|B^2x\|^2=(B^2Bx,Bx)\leqslant\|B^2\|(Bx,Bx)=(Bx,Bx)=(Ax,x)$.

Другое дело, что само понятие корня из оператора даже в ограниченном случае не вполне тривиально. Должен быть какой-то более элементарный способ доказательства.