Доказать неравенство

[Ktina]

Доказать неравенство

$$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\dots +\frac{1}{2013^2}<\sin 45^{\circ}$$

Я смогла доказать только более слабое неравенство, а именно

$$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\dots +\frac{1}{2013^2}<1$$

Заменим каждое слагаемое $\frac{1}{n^2}$ на $\frac{1}{(P(n))^2}$, где $P(n)$ -- наибольшая степень двойки (с натуральным показателем), не превышающая $n$.
Тогда получим геометрический ряд, сумма которого была бы равна 1, если бы он был бесконечным, но он обрывается. Отсюда следует, что левая часть неравенства меньше 1.

А вот этот синус...что с ним делать?

[sopor]

Воспользуйтесь тем, что $\sum 1/n^2=\pi^2/6$

[Ktina]

sopor в сообщении #722772 писал(а):

Воспользуйтесь тем, что $\sum 1/n^2=\pi^2/6$

Можно ли использовать это равенство на олимпиаде, не приводя его доказательства?
Если да, то олимпиадность куда-то улетучивается.

[TOTAL]

$\frac{1}{n^2} < \frac{1}{n^2-1}$ - а так что-нибудь получается?

[Ktina]

TOTAL в сообщении #722778 писал(а):

$\frac{1}{n^2} < \frac{1}{n^2-1}$ - а так что-нибудь получается?

$\frac{1}{(n+1)(n-1)}$
Вы об этом?

[TOTAL]

Ktina в сообщении #722779 писал(а):

$\frac{1}{(n+1)(n-1)}$
Вы об этом?

Покажите побольше "этого".

[Ktina]

TOTAL в сообщении #722783 писал(а):

Ktina в сообщении #722779 писал(а):

$\frac{1}{(n+1)(n-1)}$
Вы об этом?

Покажите побольше "этого".

$$\frac{1}{(1\cdot 3)}+\frac{1}{(2\cdot 4)}+\frac{1}{(3\cdot 5)}+\frac{1}{(4\cdot 6)}+\frac{1}{(5\cdot 7)}+\dots$$

И что с этим счастьем делать?

[TOTAL]

Ktina в сообщении #722785 писал(а):

И что с этим счастьем делать?

Каждую дробь представить как разность двух дробей.

$\frac{1}{n^2} < \frac{1}{n^2-1/4}$ - вот так точнее

[ewert]

$$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\dots +\frac{1}{2013^2}<\int\limits_{1.5}^{+\infty}\dfrac{dx}{x^2}=\frac23<\sin 45^{\circ}$$

[bot]

(Оффтоп)

Ktina в сообщении #722766 писал(а):

А вот этот синус...что с ним делать?

Воспользуйтесь тем, что $\sin 45^\circ=\frac{ \sqrt2}{2}$

TOTAL в сообщении #722778 писал(а):

$\frac{1}{n^2} < \frac{1}{n^2-1}$ - а так что-нибудь получается?

С поправкой на четверть проще, но так как $\frac14+\frac19+\frac13<\sin 45^\circ$, то хватает и такого $\frac{1}{n^2} < \frac{1}{n(n-1)}$, а это счастье проще раскладывается.

[Ktina]

ewert в сообщении #722793 писал(а):

$$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\dots +\frac{1}{2013^2}<\int\limits_{1.5}^{+\infty}\dfrac{dx}{x^2}=\frac23<\sin 45^{\circ}$$

По-моему, наилучшая идея из всех, что тут были предложены.
Спасибо!

-- 12.05.2013, 13:44 --

Видимо, именно это и подразумевалось авторами задачи -- изящное и по-настоящему олимпиадное решение в одну строчку.