Категории не множеств

[Niclax]

Какие есть категории, где объекты не являются множествами?

[ИСН]

А какое есть хоть что-нибудь во всей математике, что не является множеством?

[g______d]

Да. Любая (почти) категория :)

[Joker_vD]

Рассмотрим такую вот категорию:

1. Объектами являются натуральные числа.
2. Стрелками между $m$ и $n$ являются вещественные матрицы размера $m\times n$.
3. Если $f\colon m\to n$ и $g\colon n\to p$, то их композиция определяется как их (матричное) произведение, $g\circ f = fg$.

-- Сб май 11, 2013 03:26:58 --

Также можно взять теорию и рассматривать $A\supset B$ как стрелку в категории, чьими объектами являются утверждения этой теории.

[g______d]

Joker_vD в сообщении #722211 писал(а):

Рассмотрим такую вот категорию:
1. Объектами являются натуральные числа.
2. Стрелками между $m$ и $n$ являются вещественные матрицы размера $m\times n$.
3. Если $f\colon m\to n$ и $g\colon n\to p$, то их композиция определяется как их (матричное) произведение, $g\circ f = fg$.

Кстати, не эквивалентна ли она категории конечномерных векторных пространств?

[JMH]

Joker_vD, в Ваших примерах объекты категории - элементы множеств. Что нам мешает рассмаривать их, как одноэлементные множества? Мне представляется ИСН почти прав, единственное в математике, что не подпадает под определение множества - это собственные классы.

[Mysterious Light]

g______d в сообщении #722221 писал(а):

Joker_vD в сообщении #722211 писал(а):

Рассмотрим такую вот категорию:
1. Объектами являются натуральные числа.
2. Стрелками между $m$ и $n$ являются вещественные матрицы размера $m\times n$.
3. Если $f\colon m\to n$ и $g\colon n\to p$, то их композиция определяется как их (матричное) произведение, $g\circ f = fg$.

Кстати, не эквивалентна ли она категории конечномерных векторных пространств?

Описанная категория «скелетальная»: всякие два изоморфных объекта совпадают тождественно. Категория (конечномерных) векторных пространств допускает существование двух различных изоморфных линейных пространств. Поэтому, говоря строго, они, эти категории, не могут быть изоморфнымы.

С другой стороны, мы всегда подразумеваем возможность факторизовать всю категорию, отождествляя все эквивалентные объекты и стрелки, «фактор-категории» (я не помню, как правильно такой приём называется в ТК) очевидно эквивалентны. Сильнее: описанная категория нат. чисел получится из категории конечномерных лин. пространств после факторизации.

[lena7]

ИСН, JMH
ТС, скорее всего, имел в виду категории, не являющиеся конкретными, т. е. которые не являются, грубо говоря, категорией "множеств со структурой".

Ещё пример. Любое частично упорядоченное множество $P$ можно рассматривать как категорию, объекты которой -- элементы $P$, а стрелка ведёт из $a$ и $b$, тогда и только тогда, когда $a\le b$.

На некоторые графы можно смотреть как на категорию. Ясно как.

[g______d]

(Оффтоп)

Mysterious Light в сообщении #722223 писал(а):

Поэтому, говоря строго, они, эти категории, не могут быть изоморфнымы.

Изоморфности я не требовал; вообще, для категорий это понятие мало осмысленно.

Про эквивалентность я уже нашел: достаточно построить полный вполне строгий существенно сюръективный (надеюсь, правильно перевел) функтор. Из категории матриц в категорию векторных пространств такой строится легко $F(n)=\mathbb R^n$ и т. д. Есть теорема, по которой такой функтор будет эквивалентностью категорий. Я просто не знал, как строить функтор в обратную сторону, но, оказывается, его существование следует из этой теоремы и использует аксиому выбора.

[Joker_vD]

JMH в сообщении #722222 писал(а):

в Ваших примерах объекты категории - элементы множеств.

Ох ты ж господи, ну рассмотрим категорию, чьими объектами будут собственные классы, а стрелок не будет вовсе, кроме тождественных — а в их качестве будем брать сам объект.

[apriv]

ИСН в сообщении #722179 писал(а):

А какое есть хоть что-нибудь во всей математике, что не является множеством?

Конечно. Математика не сводится к системе аксиом ZFC или какой-либо другой.

[ИСН]

Товарищи, я ничего не утверждал и ничего у вас не спрашивал. (Да, знаю, не сводится.) Я спрашивал у топикстартера. Кстати, где он?

[Mysterious Light]

(Оффтоп)

g______d в сообщении #722313 писал(а):

Изоморфности я не требовал; вообще, для категорий это понятие мало осмысленно.

Про эквивалентность я уже нашел: достаточно построить полный вполне строгий существенно сюръективный (надеюсь, правильно перевел) функтор. Из категории матриц в категорию векторных пространств такой строится легко $F(n)=\mathbb R^n$ и т. д. Есть теорема, по которой такой функтор будет эквивалентностью категорий. Я просто не знал, как строить функтор в обратную сторону, но, оказывается, его существование следует из этой теоремы и использует аксиому выбора.

Вы спрашивали об «эквивалентности». Я это понял как изоморфность, которую, к слову, можно ввести строго как изоморфизм в категории категорий. В этом смысле такое понятие осмысленно, но неиспользуется, потому что не нужно никому.

Поделитесь ссылочкой, пожалуйста, на то, что Вы нашли. Хочется почитать.

[lena7]

(Оффтоп)

Mysterious Light
Эквивалентность категорий -- не то же самое, что изоморфность. Для категорий изоморфность -- чересчур сильное условие, его обычно его ослабляют до эквивалентности. Две категории эквивалентны тогда и только тогда, когда у них одинаковый скелет. Можно ещё через функторы определить.

[Mysterious Light]

(Оффтоп)

Тогда понятно