Гиперсферический сосуд

[EtCetera]

Место действия $\text{---}$ пространство размерности $n>1$. В тонкостенный сосуд в виде гиперсферы закачивают идеальный газ при температуре $T$. Масса сосуда равна $m$, плотность материала, из которого он изготовлен, $\text{---}$ $\rho\left(\frac{\text{кг}}{\text{м}^n}\right)$, наибольшее допустимое напряжение в стенках сосуда $\text{---}$ $\sigma\left(\frac{\text{Н}}{\text{м}^{n-1}}\right)$. Найти максимальное количество молекул газа, которое можно поместить в сосуд.

[EtCetera]

Предлагаю начать с 3-мерного случая.
P.S. Для решения $n$-мерной задачи полезно знать следующий факт: форма уравнения Менделеева-Клапейрона не меняется в зависимости от размерности пространства (см. эту тему).

[svv]

В качестве подготовительной работы надо найти связь между $p$ и $\sigma$.

Для этого посмотрим, что собой представляет тензор напряжений внутри сосуда (стенок). Ненулевыми являются только диагональные компоненты. Из них только две независимых, "радиально-радиальная" $\sigma_{rr}$ и "тангенциально-тангенциальная" $\sigma_{tt}$, последняя имеет одно и то же значение для любого направления, перпендикулярного радиальному. Обозначения не самые удачные, но уж ладно.

Так как сосуд тонкий, $\sigma_{tt}$ мало меняется от точки к точки. Её можно считать константой (причем положительной). А $\sigma_{rr}$ равна $(-p)$ на внутренней поверхности и нулю на внешней.

Возьмем декартову систему с началом в центре сосуда $O$. Одну из осей назовем $Oz$, просьба представлять её вертикальной. Гиперплоскость $z=0$ делит сосуд (и газ) на две части, верхнюю и нижнюю. Пусть $R$ -- внутренний радиус сосуда, $h$ -- толщина стенок.

Рассмотрим систему, состоящую из верхней части сосуда и верхней части газа. На неё действуют силы (пишем $z$-компоненты):

1) сила давления со стороны нижней части газа (на верхнюю часть газа), она равна $pS_1$. Здесь $S_1$ -- объем $(n-1)$-области, задаваемой условиями $r<R, z=0$, т.е. в которой нижняя часть газа соприкасается с верхней.

2) сила со стороны нижней части сосуда (действующая на верхнюю часть сосуда), она равна $(-\sigma_{tt} S_2)$. Здесь $S_2$ -- объем $(n-1)$-области, задаваемой условиями $R<r<R+h, z=0$, т.е. в которой нижняя часть сосуда соприкасается с верхней.

Из условия равновесия $pS_1=\sigma_{tt} S_2$.

Если $V_{n}(r)$ -- объем $n$-мерного шара радиуса $r$, то
$S_1=V_{n-1}(R)$
$S_2=V_{n-1}(R+h)-V_{n-1}(R)$

Отсюда в случае $h\ll R$ имеем $p=\sigma_{tt} (n-1)\frac {h}{R}$
Теперь видно, что $|\sigma_{rr}|\ll |\sigma_{tt}|$, поэтому в предельно допустимом случае $\sigma_{tt}=\sigma$, и
$p=\sigma (n-1)\frac {h}{R}$

[svv]

Ну, и собственно решение.
$V_{\text{сосуда}}$ (в смысле, объем твердой части, стенок) $=V_n(R+h)-V_n(R)$
$V_{\text{газа}}=V_n(R)$
При $h\ll R$:
$\frac{V_{\text{сосуда}}}{V_{\text{газа}}}=\frac {nh}{R}$

$pV_{\text{газа}}=\sigma (n-1)\frac {h}{R}\cdot V_{\text{сосуда}}\frac{R}{nh}=\sigma \frac{n-1}{n} V_{\text{сосуда}}=\sigma\frac{n-1}{n} \frac m{\rho}$

Так как Вы говорите, что $pV_{\text{газа}}=NkT$, то
$N=\sigma\frac{n-1}{n} \frac m{\rho k T}$

[EtCetera]

Да, у меня получился такой же ответ (правда, я рассматривал силы, действующие на небольшой кусок сосуда).
Тут интересно, как мне кажется, следующее: не нужно знать точных коэффициентов в формулах площади поверхности и объема гиперсферы, а достаточно использовать лишь очевидное соотношение между ними (оно в данном случае применяется дважды: для $n$-мерного и $n-1$-мерного случаев).

[svv]

EtCetera писал(а):

не нужно знать точных коэффициентов в формулах площади поверхности и объема гиперсферы

Да, точно. Сначала я в первом сообщении написал так:

svv писал(а):

Если $V_n(r) = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2} + 1)}r^n$ -- объем $n$-мерного шара радиуса $r$, то

Причем формула объема была скопирована из английской Википедии. Потом я решил, что так Вы подумаете, будто я возился с этими гамма-функциями, тогда как на самом деле я использовал только то, что $V_n(r)=c_n r^n$. И убрал формулу.

Задачка приятная.