Бесконечный предел во всех точках

[Sharafutdinova]

Существует ли банахово пространство (возможно несепарабельное) $X$ и отображение $F: X\to X$ такое, что

$$ \lim_{x\to a} \|F(x)\| = +\infty \quad \forall a\in X\quad? $$

[Slip]

К отображению вообще никаких требований? Тогда ищите пример на прямой. Хотим, чтобы в окрестности любой точки функция принимала бы сколь угодно большие значения...

[gris]

Этого мало. Надо, чтобы для любой точки для любого $M$ существовала проколотая окрестность, где все значения функции не меньше модулю, чем $M$. Тогда придётся разбивать пространство на счётное число нигде не плотных подмножеств.

[Oleg Zubelevich]

непонятно только зачем эти нормы городить, когда на самом деле речь идет о функции $f:X\to\mathbb{R}$, где $X$ -- полное метрическое пространство

[gris]

Кстати, отвечу на <внешний> вопрос, может быть кто ещё забыл. Пределу функции в точке нет дела до значения функции в этой точке. Там, разумеется, какое-то конечное значение.
И вот пример функции вне условий задачи. Рассмотрим пространство рациональных чисел над ними же самими. Функция — номер числа в произвольной нумерации. Предел в каждой точке — бесконечность. Но банахово ли это пространство?
Про нигде не плотные. Я имел в виду, что множество точек со значением функции в некоторых конечных пределах не может иметь предельной точки, иначе именно в этой точке предел не будет бесконечностью. Множество без предельной точки уж заведомо нигде не плотно. А на ограниченном множестве даже и конечно.

[Oleg Zubelevich]

Предположим, что существует функция $f:X\to\mathbb{R}_+$, предел которой в любой точке равен $\infty$. $X$ -- полное метрическое пространство
Через $U_n(a),\quad n=0,1,2,...$ обозначим проколутую окрестность точки $a$ в которой $f(x)> n$.

Множества $M_n=X\backslash(\bigcup_{a\in X}U_n(a))$ замкнуты и не имеют внутренних точек при этом $X=\bigcup_n M_n$ -- противоречие

вроде так