Найти предел

[sopor]

$\lim \limits_{n \to \infty} n(e(1-\frac {1} {n+1})^{n+1}-1)$
Известно, что $\lim (1-\frac {1} {n+1})^{n+1}=1/e$, но здесь ведь нельзя это подставлять. Что тогда можно сделать?

[devgen]

Можно лопиталить, но будет громоздко...

[sopor]

devgen в сообщении #721736 писал(а):

Можно лопиталить, но будет громоздко...

Пробовал, от этого становится только хуже

[provincialka]

А Тейлор не поможет? Обозначим $\frac{1}{n+1}=x$, имеем $(1-x)^\frac{1}{x}=\exp(\frac{\ln (1-x)}{x})=\exp(-1-x/2-o(x))$. Дальше можно использовать эквивалентность для $e^y-1$

[ИСН]

Раскладывать следует на один шаг дальше.

[provincialka]

ИСН в сообщении #721746 писал(а):

Раскладывать следует на один шаг дальше.

Разве? Я в уме решала, но у меня и так ответ получился. Я взяля логарифм до квадрата, это потом один $x$ сократился.