Несколько заданий, связанных с неравенствами

[BENEDIKT]

Доказать, что при любых значениях переменной верно неравенство:

1) $(7+2d)(7-2d)<49-d(4d+1)$, где $d<0$
Имеем:
$(7+2d)(7-2d)=49-4d^2$
$49-d(4d+1)=49-4d^2+d$
Но как доказать, что $49-4d^2<49-4d^2+d$, ведь $d<0$?

2) $(b-4)(b+6)<(b-3)(b-1)$
Имеем:
$(b-4)(b+6)=b^2+2b-24$
$(b-3)(b-1)=b^2-4b+3$
Получаем:
$b^2+2b-24<b^2-4b+3$
По условию первое выражение меньше второго. Очевидно, что если $a<b$, то $a-b<0$
Тогда вычтем из левой части неравенства правую:
$b^2+2b-24-b^2+4b-3$
Получаем:
$6b-27<0$
Но ведь значения $b$ могут быть любыми. В условии это не оговорено. Как тогда доказать полученное неравенство?

3) $\frac{p}{q}+\frac{q}{p}\le2$, если $pq<0$
Имеем:
$\frac{p}{q}+\frac{q}{p}=\frac{p^2+q^2}{pq}$, тогда
$\frac{p^2+q^2}{pq}\le2$
Но как это доказать? Очевидно, что $p^2+q^2>0$ при любых значениях $p$ и $q$.
При этом знаменатель дроби $pq<0$, а значит, и
$\frac{p^2+q^2}{pq}<0$
По условию значение дроби принадлежит лучу от минус бесконечности до 2, а не до нуля. Как это можно доказать?

[ИСН]

Это задания из совершенно разных областей - пожалуй даже, не следовало их публиковать в одной теме, но уж ладно. Первое - из науки аккуратного раскрытия скобок. Второе - из науки людского коварства. А третьего нет.

[BENEDIKT]

ИСН в сообщении #721222 писал(а):

Первое - из науки аккуратного раскрытия скобок

Благодарю, теперь вижу. Прошу прощения за невнимательность.

Цитата:

Второе - из науки людского коварства.

Имеется в виду коварство автора учебника?

Цитата:

А третьего нет.

Т. е. условие задано неверно?

[ИСН]

Нет, третьего нет в том смысле, что Вы его уже сделали.

[gris]

Наверняка в третьем задании справа минус два.

[ИСН]

А, да, точно.

[gris]

С помощью двойки можно и второе неравенство уважить. Умножим правую часть на два. Получится вполне хорошее задание для восьмого класса.

[Shadow]

А возможно, автор ожидал, что после $\frac{p^2+q^2}{pq} \le 2$ решающий умножит на $pq$, не забудет поменять знак неравенства и...получится красиво.
Зевнул очевидное решение.

[BENEDIKT]

Благодарю всех за помощь.