Несколько вопросов по Матану

[Городецкий Павел]

Пусть дано множество

\[M\]

. Система множеств

\[{\rm B} = \{ B\} \]

(где

\[B \subset M\]

суть подмножества

\[M\]

) называется базой во множестве

\[M\]

, если
1)

\[B \ne 0,\forall B \in {\rm B}\]

2)

\[\forall B_1 ,B_2 \in {\rm B}\exists B_3 :B_3 \subset B_1 \cap B_2 \]

Примером базы является
Если

\[a \in M\]

, то система множеств

\[B = U(a) \cap M,\forall U(a)\]

есть база в

\[M\]

.
Вопрос: в данном случае элементом базы является \[B_1 = U(a_1 ) \cap M,\forall U(a_1 )] для конкретного

\[a_1 \in M\]

?

[Brukvalub]

Точка а считается заранее заданной и фиксированной.

[Городецкий Павел]

то есть каждая окрестность этой точки (заданной) являтся элементом базы?

И сразу такой вопрос относительно уже определения предела по базе

Пусть

\[f\]

определена на множестве

\[M\]

и

\[{\rm B}\]

есть база во множестве

\[M\]

. Число

\[A\]

есть предел функции

\[f\]

по базе

\[{\rm B}\]

, если

\[\forall \varepsilon > 0,\exists B \in {\rm B}:\left| {f - A} \right| < \varepsilon ,\forall x \in B\]

.

Получается что

\[\exists B \in {\rm B},\forall x \in B\]

есть не что иное, как

\[\exists \delta :0 < \left| {x - a} \right| < \delta \]

на языке "

\[\varepsilon - \delta \]

"

[Brukvalub]

Городецкий Павел писал(а):

то есть каждая окрестность этой точки (заданной) являтся элементом базы?

Да.

Городецкий Павел писал(а):

Пусть

\[f\]

определена на множестве

\[M\]

и

\[{\rm B}\]

есть база во множестве

\[M\]

. Число

\[A\]

есть предел функции

\[f\]

по базе

\[{\rm B}\]

, если

\[\forall \varepsilon > 0,\exists B \in {\rm B}:\left| {f - A} \right| < \varepsilon ,\forall x \in B\]

Получается что

\[\exists B \in {\rm B},\forall x \in B\]

есть не что иное, как

\[\exists \delta :0 < \left| {x - a} \right| < \delta \]

на языке "

\[\varepsilon - \delta \]

"

Это верно только тогда, когда базой является база проколотых окрестностей точки а. Но есть и другие базы (например, база, которую Вы привели ранее как пример), поэтому определение предела по базе шире, чем его конкретизация для базы проколотых окрестностей точки.

[Городецкий Павел]

Я забыл дописать словесную трактовку свою относительно проколотых окретностей, для того чтобы Вы подтвердили корректность формулировки

Получается что

\[\exists B \in {\rm B},\forall x \in B\]

есть не что иное (для проколотых окрестностей), как

\[\exists \delta :0 < \left| {x - a} \right| < \delta \]

на языке "

\[\varepsilon - \delta \]

", т.е. Среди проколотых окрестностей точки

\[a\]

, которые и образуют базу проклотых окрестностей, найдется такой элемент базы (такая проколотая окрестность), для которой

\[\left| {f - A} \right| < \varepsilon \]

И еще один вопрос, связанный с определением фундаментальной функции
Пусть

\[X\]

- множество,

\[{\rm B}\]

- база на

\[X\]

,

\[f:X \to R\]

. Функция

\[f\]

называется фундаментальной по

\[{\rm B}\]

или удовлетворяет условию Коши по

\[{\rm B}\]

, если

\[\forall \varepsilon > 0,\exists B \in {\rm B},\forall x_1 ,x_2 \in B,\left| {f(x_1 ) - f(x_2 )} \right| < \varepsilon \]

.

Я так это понял, что существует проколотая окрестность (например для этой базы) из семейства проколотых окрестностей, у которой все точки удовлетворяют неравенству

\[ \left| {f(x_1 ) - f(x_2 )} \right| < \varepsilon \]

.
Правильно?

Спасибо

[Brukvalub]

Городецкий Павел писал(а):

Получается что

\[\exists B \in {\rm B},\forall x \in B\]

есть не что иное (для проколотых окрестностей), как

\[\exists \delta :0 < \left| {x - a} \right| < \delta \]

на языке "

\[\varepsilon - \delta \]

", т.е. среди проколотых окрестностей точки

\[a\]

, которые и образуют базу проклотых окрестностей, найдется такой элемент базы (такая проколотая окрестность), для которой

\[\left| {f - A} \right| < \varepsilon \]

Да.

Городецкий Павел писал(а):

Я так это понял, что существует проколотая окрестность (например для этой базы) из семейства проколотых окрестностей, у которой все точки удовлетворяют неравенству

\[ \left| {f(x_1 ) - f(x_2 )} \right| < \varepsilon \]

.
Правильно?

Да.