Сечение пирамиды

[kis]

т.к. плоскость сечения параллельна ребру $TB$, то отрезки $PK$, $FE$, $TB$ взаимно параллельны. Стало быть, $PKEF$ - искомое сечение. (обоснованно?)

Треугольник $AKP$ подобен треугольнику $ABT$ с коэф. подобия $K = AP / AT = 1/2$ (по усл.), значит $PK$ - средняя линичя треугольника $ABT$ => $PK = TB/2 = 1$
Треугольник $CEF$ подобен треугольнику $CBT$ с коэф. подобия $K = EC / BC = 1/2$ (по усл.), значит $FE$ - средняя линия треугольника $CBT$. => $FE = TB/2 = 1$

Отрезки $PF$ и $KE$ проходят через середины соответствующих ребер (из подобия).
Значит, $PF$ и $KE$ - среднии линии соответствующих треугольников. Поэтому $PF$ и $KE$ параллельны $AC$ и параллельны между собой. $PF = KE = AC/2 = 1$

т.к. противолежащие стороны $PKEF$ параллельны, то это параллелограмм. Т.к. все стороны параллелограмма равны, то это ромб.

Не могу сообразить, как найти площадь этого ромба...

[matidiot]

Используйте перпендикулярность грани АТС плоскости основания АВС (почему?). Проведите через точку Е плоскость перпендикулярно АТС и АВС. Линия пересечения этой плоскостью плоскости сечения дает высоту ромба, заодно получаете линейный угол двугранного угла между плоскостью сечения и грани АТС.

[kis]

Цитата:

Используйте перпендикулярность грани АТС плоскости основания АВС (почему?)

на википедии я прочел, что

Цитата:

Если все боковые ребра равны, около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;

А так как центр окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника находится на середине гипотенузы, то, значит, высота пирамиды $T$ проецируется в центр гипотенузы. $ATC$ перпендикулярно основанию $ABC$.

Правильно ли рассуждаю или можно было бы как-нибудь по-другому к этому прийти, без знания факта, который я достал из вики?

Площадь нашел :)

[gris]

Из равенства наклонных, проведённых из одной точки, следует равенство их проекций по признаку равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету. Проекция бокового ребра (наклонной) соединяет основание высоты пирамиды с вершиной основания. То есть каждая вершина основания находится на одинаковом расстоянии от основания высоты в плоскости этого самого основания.

[kis]

gris в сообщении #720699 писал(а):

То есть каждая вершина основания находится на одинаковом расстоянии от основания высоты в плоскости этого самого основания.

а потом нужно догадаться, что точка, равноудаленная от вершин прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы?

[gris]

Нет, это я только про то, что основание высоты пирамиды с равными боковыми ребрами является центром описанной около основания пирамиды окружности. То, что середина гипотенузы является центром описанной около треугольника окружности, доказывается отдельно. Но в задачах по стереометрии это является уже известным свойством.

Вообще при решении геометрических задач учащийся предполагается погружённым в мешанину уже доказанных теорем. Чем больше теорем он знает, тем ему проще. Разумеется, надо быть готовым к тому, что экзаменатор может попросить доказать приводимое утверждение. Собственно, всё это не относится к геометрии как к дисциплине, а только к методике оформления задач в экзаменационных целях. В настоящее время на это как-то не обращают внимания.

[kis]

ааа, понял вас. большое спасибо, теперь буду знать, про такое свойство пирамид.