Свойства бинарных отношений.

[antoniosm]

Здравствуйте. Не могу разобраться с свойствами антисимметричности и транзитивности. Помогите.
Есть множество $B=\{1,2,3,4\}$.
Есть бинарное отношение $P \subseteq B^2$. $P=\{(1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,3),(3,2),(3,4),(4,3),(4,4),(4,1)\}$.
Проверить, является ли отношение Р рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным.

$P$ рефлексивно, т.к. $ \forall x \in B, (x,x) \in P $.
$P$ симметрично, т.к. $ \forall x,y \in B, (x,y) \in P \to (y,x) \in P $
$P$ антисимметрично, т.к. $ \forall x,y \in B, (x,y) \in P, (y,x) \in P \rightarrow x=y $
$P$ не транзитивно, т.к. $ \forall x,y,z \in B, (x,y) \in P, (y,z) \in P \rightarrow (x,z) \in P $ (например, для пар $(1,2)$ и $(2,3)$ пары $(1,3)$ нету в отношении $P$).

Правильно ли определены свойства? Подскажите.

[alex-omsk]

Странно, что отношение не диагональ, но одновременно симметрично и антисимметрично.

[antoniosm]

Получается, что оно не антисимметрично?

[alex-omsk]

Получается. Можете это даже доказать.

[antoniosm]

А свойство транзитивности правильно определено?

[alex-omsk]

Так написано же определение транзитивности. Методом перебора можно убедиться, что отношение транзитивно.

[antoniosm]

alex-omsk в сообщении #720262 писал(а):

Так написано же определение транзитивности. Методом перебора можно убедиться, что отношение транзитивно.

Объясните, пожалуйста, "на пальцах". Не понимаю как.

[AV_77]

С транзитивностью у вас все правильно, отношение не транзитивно.

[alex-omsk]

да, почему-то предлог не исчез из поста)

[provincialka]

Если вы не хотите производить проверку транзитивности перебором (например, матрица большая), можно использовать (булево) умножение матрицы смежности. Отношение $R$ будет транзитивным тогда и только тогда, когда $R^2\subset R$, для матрицы $A$ этого отношения это сводится к $A^2\le A$ (умножение матриц бинарное)

[bot]

provincialka в сообщении #720620 писал(а):

можно использовать (булево) умножение матрицы смежности

Дольше провозишься с составлением матрицы, особенно в отрицательном случае, когда на опровержение гипотезы натыкаешься сразу.

[provincialka]

bot в сообщении #720727 писал(а):

provincialka в сообщении #720620 писал(а):

можно использовать (булево) умножение матрицы смежности

Дольше провозишься с составлением матрицы, особенно в отрицательном случае, когда на опровержение гипотезы натыкаешься сразу.

Согласна, это важнее для проверки транзитивности. Особенно, если отношение изначально задано с помощью матрицы.