Оценка модуля синуса на окружности

[Melek Taus]

Не могу справиться с задачей:
Требуется найти минимум и максимум функции

\[ f(\varphi ) = \,|\sin (re^{i\varphi } )| \]

, где r - постоянное положительное число, меньшее, скажем, 0.1, на отрезке

\[ [0,\frac{\pi } {2}] \]

.
Несложно получить равенство:

\[ f^2 (\varphi ) = \sin ^2 (r\cos \varphi ) + sh^2 (r\sin \varphi ) \]

. Если построить график функции

\[ f^2 (\varphi ) \]

, то видно, что эта функция является возрастающей, откуда

\[ f_{\min } = f(0) = \sin r \]

, а

\[ f_{\max } = f(\frac{\pi } {2}) = sh\,r \]

Проблема в том, чтобы доказать это аналитически, без привлечения численных методов...

[Zai]

Продифференциируем квадрат Вашей функции
$\dot{f^2 (\varphi )} = (\sin ^2 (r\cos \varphi ) + sh^2 (r\sin \varphi ))^'
Условием отстутствия экстремумов является следующее неравенство
$-sin (r\cos \varphi )cos(r\cos \varphi )rsin \varphi+sh(r\sin \varphi )ch(r\sin \varphi )r\cos \varphi > 0
Поделим левую часть на положительное на Вашем интервале $r^2cos \varphi sin \varphi
Получаем
$-\frac {sinpcosp} p+\frac {shqchq} q >0,p=rcos \varphi,q=rsin \varphi, где p и q принадлежат интервалу от 0 до 0.1
Видно, что первый член на всем интервале меньше 1, второй больше 1, следовательно неравенство выполняется при любых значениях аргумента и Ваша функция не имеет внутренних экстремумов

[Melek Taus]

Zai
Большое Спасибо!!!