Открытое подмножество комплексной плоскости.

[samson4747]

Доброго времени суток!

Имеем:
$G_1\subset\mathbb C$ - открытое множество комплексной плоскости;
$G_2\subset\mathbb C_\mathrm{SR}$ - открытое подмножество сферы Римана.

Хочу понять:

• Будут ли отличия свойств у $G_1$ и $G_2$?
• Если да, то какими свойствами будет обладать одно подмножество и не обладать другое?
• Имеются (если да, какие?) отличия у функций: $f:G_1\to\mathbb C$ и $f:G_2\to\mathbb C\ $?

P.S.: За литературу, где описываются данные манипуляции также буду благодарен.

[provincialka]

Вы о каких свойствах говорите? Топологических? Тогда не важно, что плоскость комплексная.

Плоскость топологически эквивалентна сфере с выколотой точкой. Если $G_2$ не совпадает со всей сферой, оно эквивалентно некоторому открытому подмножеству комплексной плоскости (не обязательно $G_1$).

Но по определению вся сфера также является открытым множеством. Вот она не эквивалентна никакому подмножеству плоскости.

[samson4747]

provincialka, можно пожалуйста подробнее?
Почему

provincialka в сообщении #719625 писал(а):

Плоскость топологически эквивалентна сфере с выколотой точкой.

Так же честно скажу не знал, о

provincialka в сообщении #719625 писал(а):

Но по определению вся сфера также является открытым множеством. Вот она не эквивалентна никакому подмножеству плоскости.

, расскажите пожалуйста, либо отошлите к какой-нибудь книжке.
Хотелось бы ещё уточнить, о

samson4747 в сообщении #719550 писал(а):

Имеются (если да, какие?) отличия у функций: $f:G_1\to\mathbb C$ и $f:G_2\to\mathbb C\ $?

[provincialka]

Ой, а Вы вообще топологию знаете? Боюсь, объяснять все с начала мне трудновато - мои знания уже перешли в подсознание.

Ну, примерно так.
1. Стереографическая проекция является гомеоморфизмом сферы без северного полюса и плоскости.
2. Любое пространство является в себе и открытым и замкнутым. Тем более, для сферы это не противоречит и чисто интуитивному представлению: у нее же нет "границы".
3. Вопрос про функции непонятен. Что вы относите к "свойствам"?

[samson4747]

2. Понял.
1. Примерно понятно, лучше отослать к книжечке или ещё чуток дать пинка моему сознанию.
3. Нарушится, что-то если рассматривать функции $f:G_1\to\mathbb C$, а потом $f:G_2\to\mathbb C\ $, новые свойства у одних по сравнению с другими появятся? (свойства: непрерывность, интегрируемость, сходимости по топологиям, дифференцируемость, замкнутость графика и так далее )

[provincialka]

Насчет литературы - это не ко мне. У меня все, что есть (хоть и немного ) - в памяти. А что непонятно? Не знаете, что такое стереографическая проекция?

С функциями не прояснилось. Ваше высказвание некорректно. Как одна и та же функция может быть задана одновременно на разнах пространствах? Для этого между ними (пространствами) нужно организовать связь. И вот от этой связи все и зависит!

[samson4747]

provincialka в сообщении #719697 писал(а):

С функциями не прояснилось. Ваше высказвание некорректно. Как одна и та же функция может быть задана одновременно на разнах пространствах? Для этого между ними (пространствами) нужно организовать связь. И вот от этой связи все и зависит!

Понял Вас, имею ввиду разные функции: $f:G_1\to\mathbb C$ и $g:G_2\to\mathbb C$.
Благодарю за ответ и помощь оказанную мне!

[provincialka]

Вопрос закрыт? У разных функций и свойства разные.
Кстати, большинство из перечисленных Вами свойств - локальные, поэтому не связаны с глобальной "формой" области. Локально обе поверхности одинаковы.