многомерное распределение

[AndreyL]

Друзья! В процессе обработки данных выяснилось, что распределение многомерной измеряемой величины часто не соответствует нормальному, а является более плоским, т.е. что-то между нормальным и равномерным. Существуют ли какие нибудь многомерные распределения с более плоской "крышей" по сравнению с нормальным, и, самое главное, существуют ли методы оценки их параметров по выборке? Для одномерных распределений в таких случаях, насколько я знаю, используются распределения с плотностью $f(x)=\frac{\gamma}{2s\Gamma \left( \frac{1}{\gamma}\right)} \exp \left( - \left( \frac{\left| x-m \right|}{s}\right) ^{\gamma} \right)$. А есть ли что-то похожее для многомерных распределений?

[ИСН]

Дак возьмите любые одномерные, какие нравятся, и... как бы это прилично сказать... в общем, копулируйте их в любых комбинациях.

[AndreyL]

Не совсем понял, а как тогда быть с корреляциями? Предположим, для $m$-мерной случайной величины получены оценки параметров маргинальных распределений $f_j(x)=\frac{\gamma_j}{2s_j\Gamma \left( \frac{1}{\gamma_j}\right)} \exp \left( - \left( \frac{\left| x-m_j \right|}{s_j}\right) ^{\gamma_j} \right), j=1..m$ Получена оценка корреляционной матрицы $R$ (или ковариационной матрицы $\Sigma$, не важно). Как теперь будет выглядеть плотность многомерного распределения?

[AndreyL]

Может быть сначала пересчитать на собственные векторы и уже потом делать оценки параметров маргинальных распределений? По идее тогда плотность многомерного распределения должна быть равна произведению плотностей маргинальных распределений. Или существует более корректный способ?

[devgen]

AndreyL
http://pe.cemi.rssi.ru/pe_2011_2_98-134.pdf
Можно еще поискать, по-моему, у Фантаццини была серия статей.

[AndreyL]

devgen
Очень похоже на то, что нужно. Спасибо! Буду пробовать.

[AndreyL]

devgen
Еще раз огромное СПАСИБО за статью! В 9-ой Математике появились копула-функции, сейчас как раз разбираюсь, и статья, которую Вы посоветовали, очень помогла (хотя там, похоже, есть некоторые неточности в формулах)

ИСН
Вы, конечно, все правильно сказали, только слово "копулируйте" мне на тот момент не было понятно.

[devgen]

AndreyL
Попробуйте среду R

[AndreyL]

devgen в сообщении #719650 писал(а):

Попробуйте среду R

А что, в R больший набор копула-функций? В каком пакете? 9-ка, кстати, имеет собственный интерпретатор R, правда я его пока не пробовал.

А вот сразу вопрос по копула-функциям: как получить многомерное распределение такое, чтобы его плотность была эллипсоидом, причем внутри эллипсоида плотность постоянная (равномерное распределение), а вне эллипсоида плотность 0? Пытался использовать в качестве маргинальных равномерные распределения, а в качестве копула-функции многомерное нормальное - получается бимодальное распределение с модами на границах длинной оси эллипсоида.

[Евгений Машеров]

В данном случае я бы делал не через копулы. А смоделировал бы равномерное распределение в шаре ((n-1) угловых координат и радиус, распределённый треугольно $p(x)=x; 0<x<1$
А потом растянул бы до эллипсоида.

[AndreyL]

А можно чуть подробнее? Не очень понял предлагаемую идею

[Евгений Машеров]

Рассмотрим эллипсоид, заданный уравнением
$(x-v)^TA^{-1}(x-v)=1$
Можно принять, что центр эллипсоида v=0 (а если нужен смещённый в иную точку - прибавить к найденным координатам точки внутри соответствующие компоненты вектора координат центра v)
$x^TA^{-1}x=1$
Учитывая, что матрица А положительно определённая и симметричная, её можно представить, как
$A=C^T\Lambda^2C$
и, заменяя $y=\Lambda^{-1}Cx$ перейти к уравнению для шара
$y^Ty=1$
Очевидно, это преобразование, растяжение и поворот осей, равномерное распределение точек внутри шара переведёт в равномерное внутри эллипсоида.
То есть, сгенерировав случайную точку y с равномерным внутри сферы распределением, можно получить равномерно распределённую внутри эллипсоида точку x, как
$x=C^T\Lambda y$
Остаётся выяснить, как получить точку, равномерно распределённую внутри сферы.
Простейший способ - "отбрасыванием", т.е. генерируется n случайых величин, распределённых U(-1,1), находится сумма их квадратов, если она больше 1, попытка неудачна, делается следующая, пока не будет получена точка внутри сферы. При большом n этот способ даст большое число неудачных попыток, так, например, при n=8 неудачны будут 63 попытки из 64. Поэтому лучше сгенерировать n случайных величин, из которых одна даст для точки координату r, остальные угловые координаты точки (далее по формуле гиперсферических координат). Однако распределение r не может быть равномерным, плотность распределения должна быть пропорциональна объёму слоя гиперсферы, соответствующему радиусу r, то есть $r^{n-1}$. То есть функция распределения будет $F(r)=r^n$ для r от нуля до единицы, нулю при r<0 и единице при r>1. Так что для получения r надо сгенерировать равномерное U(0,1) и вычислить $r=u^{1/n}$

[AndreyL]

Да, Спасибо! Только не совсем то, что хотелось бы. По видимому я не очень точно выразился, написав, что нужно "получить многомерное распределение". Генератор случайной величины в моей задаче не нужен, хотелось получить формулу плотности такого распределения с использованием копула-функции. Вот только не знаю, какую копула-функцию брать, из всего имеющегося у меня набора с корреляционными матрицами способны работать только многомерное нормальное и многомерное Стьюдента, но при равномерных распределений в качестве маргинальных они переходят к бимодальным (равномерное распределения было выбрано как предельный случай экспоненциального). Пока даже не могу понять, как с помощью копула-функций получить плотность эллиптического экспоненциального распределения (описанного в статье, предложенной уважаемым devgen) - при увеличении степени двумерные маргинальные получаются бимодальными. А в реальной задаче степени маргинальных распределений наверняка будут различными, плюс не исключен случай с асимметричными маргинальными распределениями.

[AndreyL]

А насколько правомерным будет подход с нормализацией? Например оценить (по выборке) параметры всех маргинальный распределений, взять от них интегральную функцию этих распределений и дать ее на вход обратного нормального распределения. По идее после такого преобразования у новой случайной величины все маргинальные распределения будут нормальными, и для новых случайных величин можно пользоваться копула-функцией для многомерного нормального распределения (с нормальными-же маргинальными), и значит можно получить значение плотности для новой случайной величины. Правда не совсем четко понимаю, как потом перейти к плотностям исходных распределений, может быть разделить на произведение плотностей нормальных (маргинальных) и домножить на произведение плотностей исходных (опять же маргинальных)?

[Евгений Машеров]

На всякий случай

(Оффтоп)

поправляя фуражку прапорщика Ясненько, старшины роты капитана Очевидность

эллиптические распределения и распределение величины, равномерно распределённой внутри эллипсоида, это разные распределения.
Подход с копулой, по-видимому, для эллиптических сможет сработать, а для внутренности эллипсоида я лично бы просто использовал то, что вероятность попадания в выбранную область пропорциональна отношению объёма этой области к объёму эллипсоида (и далее воспользовался бы тем, что поворот объёмов не меняет, а растяжение меняет всё пропорционально, и и то, и то переводят плоскости в плоскости, так что для области, отсечённой от эллипсоида плоскостью задача сведётся к вычислению объёма шарового сегмента).