Предел с Лопиталем и без него

[Ktina]

Вычислить предел:

$$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\cos\left({\frac{\pi}{2}\cos x\right)}}{\sin(\sin x)}$$

Я смогла только через Лопиталя решить:

$$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\cos\left({\frac{\pi}{2}\cos x\right)}}{\sin(\sin x)}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{-\sin\left({\frac{\pi}{2}\cos x\right)}\left(-\frac{\pi}{2}\sin x\right)}{\cos(\sin x)\cdot\cos x}=\frac{0}{1}=0$$

Можно ли вычислить этот предел, не пользуясь правилом Лопиталя?

[Ms-dos4]

Да, конечно. Например разложением в ряд Тейлора в окрестности нуля
$\[\cos [\frac{\pi }{2}\cos x] = \frac{{\pi {x^2}}}{4} + o({x^4})\]$

$\[\sin [\sin x] = x + o({x^3})\]$

$\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos [\frac{\pi }{2}\cos x]}}{{\sin [\sin x]}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{\pi {x^2}}}{4}}}{x} = 0\]$

[Ktina]

Ms-dos4 в сообщении #719144 писал(а):

Да, конечно. Например разложением в ряд Тейлора ...

Тейлора проходят ещё позднее, чем Лопиталя.
А можно ли решить так, чтобы не отлопиталивать и не отмаклоренивать?

[Ms-dos4]

Сразу, во всяком случае мне, не видно. А в чем проблема то применения Лопиталя? Зачем изобретать, если есть отработанная схема?

[Ktina]

Ms-dos4 в сообщении #719154 писал(а):

Сразу, во всяком случае мне, не видно. А в чем проблема то применения Лопиталя? Зачем изобретать, если есть отработанная схема?

Довольно часто на олимпиадах задают именно такие задачи: "Вычислить предел, не пользуясь правилом Лопиталя". Подразумевается, что предел уже проходили, а производную (и, тем паче, Маклорена) -- ещё нет.

[devgen]

Ktina
Можно упростить жизнь два раза применив первый замечательный предел $\frac{\cos(\frac{\pi}{2}\cdot\cos(x))}{x}$

[Ktina]

devgen в сообщении #719156 писал(а):

Ktina
Можно упростить жизнь два раза применив первый замечательный предел $\frac{\cos(\frac{\pi}{2})\cos(x)}{x}$

Так намного лучше.
Спасибо!

[TOTAL]

$\frac{\sin x}{x}$ - вот такие выделяйте

[Ktina]

TOTAL в сообщении #719159 писал(а):

$\frac{\sin x}{x}$ - вот такие выделяйте

Так это ж и есть первый замечательный.

[TOTAL]

Ktina в сообщении #719160 писал(а):

Так это ж и есть первый замечательный.

Что это есть, видно непосредственно, а первых и замечательных может быть миллион.

[TR63]

К числителю можно применить формулу приведения.

[Ktina]

TR63 в сообщении #719164 писал(а):

К числителю можно применить формулу приведения.

Вы о чём? О школьной тригонометрии?

[TR63]

Да.

[iifat]

Таки открою вам страшный секрет: зная доказательство правила Лопиталя, можно найти любой предел и без Лопиталя. А доказательство вполне несложное, помнится.

[devgen]

iifat
Я знаю только доказательство через теорему Коши, есть какое-то другое?