Поверхностный интеграл

[Limit79]

Используя формулу Гаусса-Остроградского, вычислить поверхностый интеграл:

$\mathop{\oint\limits_{S} 3xdydz + (y-x)dzdx +(z^2+x) dxdy$

где $S$: $x^2+y^2=1,z=1,z=2,x=0$

Мои мысли:

$\frac{\partial P}{\partial x} = 3$, $\frac{\partial Q}{\partial y} = 1$, $\frac{\partial R}{\partial z} = 2z$

Область интегрирования - часть цилиндра $x^2+y^2=1$ при $x \geqslant 0$, между плоскостями $z=1$ и $z=2$.

Тогда: $\mathop{\oint\limits_{S} 3xdydz + (y-x)dzdx +(z^2+x) dxdy = \iiint\limits_{V} (3+1+2z) dxdydz = \int\limits_{-1}^{1} dx \int\limits_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} dy \int\limits_{1}^{2} (3+1+2z) dz $ $= ... = 7 \pi$

Верен ли ход моих мыслей? И можно ли проверить результат, вычислив данный интеграл другим способом?

Заранее спасибо за ответы!

PS. Значок интеграла немного другой - не нашел его в техе.

[SpBTimes]

А что, формула объема цилиндра забыта? Зачем вычислять тот интеграл?
И уж если вычислять, то не в декартовой.

[provincialka]

А условие $x\ge 0$ забыли?

[Limit79]

SpBTimes
Нет, формулу объема цилиндра помню, только не знаю, как ее здесь применить.

Насчет декартовой СК - были мысли перейти в цилиндрическую, но и в декартовой вроде все просто считается (но в цилиндрический, видимо, вообще элементарно).

provincialka
Ах, точно, спасибо, но первый пост уже исправить не могу

-- 01.05.2013, 16:56 --

Кстати, еще не могу понять, какую область брать, которая при $x \geqslant 0 $ или при $x \leqslant 0$?

[provincialka]

Limit79 в сообщении #718282 писал(а):

Кстати, еще не могу понять, какую область брать, которая при или при ?

Однофигственно! В конечной формуле нет $x$ без квадрата.

Limit79 в сообщении #718282 писал(а):

Нет, формулу объема цилиндра помню, только не знаю, как ее здесь применить.

Ну, когда берете интеграл от константы, чему он равен? Весь интеграл таким способом не найдете, но хоть часть...

-- 01.05.2013, 16:04 --

Limit79 в сообщении #718282 писал(а):

Насчет декартовой СК - были мысли перейти в цилиндрическую, но и в декартовой вроде все просто считается (но в цилиндрический, видимо, вообще элементарно).

Накакая тут система не нужна. Один интеграл считается через объем полуцилиндра, а второй (после одного интегрирования) - через площадь полукруга.

[Limit79]

provincialka
Объем цилиндра: $V = \pi r^2 h= \pi \cdot 1^2 \cdot 1 = \pi$, у нас половина, то есть $\frac{\pi}{2}$.

Площадь круга: $S = \pi r^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi$, у нас половина, то есть $\frac{\pi}{2}$.

Но как дальше все это соединить?

[provincialka]

Полученный интеграл

Limit79 в сообщении #718049 писал(а):

$\iiint\limits_{V} (3+1+2z) dxdydz$

можно разбить на два $\iiint\limits_{V}4 dxdydz+\iiint\limits_{V} 2z dxdydz$
Первый сводится к объему. Во втором не надо разбивать на 3 повторных. Возьмите внешний двойной по $dxdy$, а внутренний по $dz$

[Limit79]

provincialka
Понял, спасибо!