3 задачи по функану

[chtec]

Помогите, пожалуйста, решить следующие задачи:
1. Будет ли уравнение
$x(t) + $$\int_{0}^{1}tssin(x(s) + \lambda s)ds$$& = 0&
иметь единственное решение $x\to 0$ при $\lambda \to 0$.
2. Найти сопряженный к оператору $A: L_2[0, 1] \to L_2[0, 1]$, если $Ax(t) = $$\int_{0}^{1}tx(s)ds$$.
3. Будет ли выпукло в пространстве С[a,b]: 1) множество многочленов степени а) =5, б)$\leqslant 5$. 2)непрерывная функция, удовлетворяющая неравенству $$$\int_{a}^{b}|x(t)|dt$$ \leqslant 5$

[Brukvalub]

chtec писал(а):

1. Будет ли уравнение
$x(t) + $$\int_{0}^{1}tssin(x(s) + \lambda s)ds$$& = 0&
иметь единственное решение $x\to 0$ при $\lambda \to 0$.

Решение в каком функциональном пространстве? Что означает

chtec писал(а):

$x\to 0$ при $\lambda \to 0$.

Стремление по норме? тогда по какой?

chtec писал(а):

3. Будет ли выпукло в пространстве С[a,b]: 1) множество многочленов степени а) =5, б)$\leqslant 5$. 2)непрерывная функция, удовлетворяющая неравенству $$$\int_{a}^{b}|x(t)|dt$$ \leqslant 5$

Наверное, вместо выделенного мной текста следует читать: множество непрерывных функций, каждая из которых удовлетворяет неравенству...
Ответы: в п.а) - нет, в остальных - да. Решение: проверить выполнение или невыполнение определения выпуклости.

[chtec]

Пространство С[0,1]. Стремление обычное, по значению.

[Asalex]

В С[a,b] множество многочленов степени $\leqslant$ 5 выпукло,
множество многочленов степени 5 не выпукло($x^5+(-x^5)=0$),
множество функций, для которых $\int_{a}^{b} |x(t)| \leqslant 5$ выпукло.
Просто пользуешься определением выпуклого множества и неравенством треугольника.
Ты определись, при каком $\lambda$ ты исследуешь единственность решения уравнения

$$x(t) + \int_{0}^{1}tssin(x(s) + \lambda s)ds = 0$$