Сивухин, "Механика" 1 задача.

[misguided]

Доброго времени суток. Собственно, Сивухин "Общий курс физики" 1 том: "Механика", самая первая задача.
Шарик, которому сообщена горизонтальная скорость $v$, падает на горизонтальную плиту с высоты $h$. При каждом ударе о плиту теряется часть скорости (отношение вертикальной составляющей скорости после удара к ее значению до удара постоянна и равна $\alpha$).
Определить, на каком расстоянии $x$ от места бросания отскоки шарика прекратятся. Считать, что трение отсутствует, так что горизонтальная составляющая скорости шарика $v$ не меняется.

Я полагаю, нужно найти время, через которое отскоки шарика прекратятся и умножить его на $v$. Время до первого отскока можно найти следующим образом: $y=\frac {-gt_1^2} 2 + h $, затем $y$ приравниваем к 0. После отскока: $y= \frac {-gt_2^2} 2 + v_2 t_2 $, где $v_2=\alpha v_1$ - вертикальная скорость шарика в момент после отскока, a $v_1=-gt_1$ - вертикальная скорость шарика в момент до отскока. Так же можно расписать времена после следующих отскоков. Дальше что делать, я не знаю.

[Ms-dos4]

В первый раз шар упадёт за время

$\[\tau = \sqrt {\frac{{2h}}{g}} \]$

Его скорость перед ударом

$\[{v_0} = \sqrt {2gh} \]$

Скорость после n-го удара

$\[{v_n} = {v_0}{\alpha ^n} = \sqrt {2gh} {\alpha ^n}\]$

Тело после n-го удара поднимается на высоту

$\[{h_n} = h{\alpha ^{2n}}\]$

Время подъёма/спуска на эту высоту

$\[{\tau _n} = \sqrt {\frac{{2{h_n}}}{g}} = {\alpha ^n}\sqrt {\frac{{2h}}{g}} \]$

Теперь суммируем все промежутки времени, учитывая что тело поднимается и падает за одно и то же время

$\[t = \sqrt {\frac{{2h}}{g}} + 2\sum\limits_{n = 1}^\infty {{\alpha ^n}\sqrt {\frac{{2h}}{g}} } = \sqrt {\frac{{2h}}{g}} (1 + 2\sum\limits_{n = 1}^\infty {{\alpha ^n}} )\]$

Т.к. $\[\left| \alpha \right| < 1\]$ имеем геом. прогрессию

$\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {{\alpha ^n}} = \frac{\alpha }{{1 - \alpha }}\]$

Получаем

$\[t = \sqrt {\frac{{2h}}{g}} \frac{{1 + \alpha }}{{1 - \alpha }}\]$

Ну и для пройдённого расстояния по оси x

$\[x = {v_x}\sqrt {\frac{{2h}}{g}} \frac{{1 + \alpha }}{{1 - \alpha }}\]$