Метод наименьших квадратов и гипербола

[Ваньша]

Здравствуйте!

Заранее прошу извинить если заявленная тема уже обсуждалась на форуме.

Ситуация такова: В результате проведения измерений получена таблица значений некоторой функции. Я предполагаю, что искомая зависимость имеет гиперболический вид. Хотелось бы убедиться в этом, аппроксимировав экспериментальные точки аналитической кривой. Порекомендуйте, пожалуйста, литературу по методу наименьших квадратов.

С уважением.

[Asalex]

Крылов В.И. Вычислительные методы

[ИСН]

В двух словах: найдите преобразование, которое переведёт эту гиперболу в прямую, а уж с ней - как обычно.

[Ваньша]

Всем спасибо за ответы.

ИСН, я не халявщик и буду искать сам, но подскажите, пожалуйста, как. Идет ли речь о квадратичных преобразованиях и об алгебраической геометрии?

[Zai]

В общем случае Ваша кривая второго порядка(предположительно гипербола) имеет вид:
$$f(x,y)=a_{11}x^2+a_{22}y^2+2a_{12}xy+b_{1}x+b_2y+c=0
Неизвестными являются шесть коэффициентов, которые вам нужно определить по парам точек $(x_1,y_1),...(x_n,y_n)
Составим сумму квадратов отклонений f от нуля $s=\sum \limits _{i=1} ^n f_i^2
Продифференциируем по неизвестным коэффициентам и получим систему уравнений(первое из них будет иметь вид:
$\frac {ds} {da_{11}}=0=a_{11}\sum \limits _{i=1} ^n x_i^4+a_{22}\sum \limits _{i=1} ^n y_i^2x_i^2+a_{12}\sum \limits _{i=1} ^n x_i^3y_i+b_{1}\sum \limits _{i=1} ^n x_i^3+b_{2}\sum \limits _{i=1} ^n y_ix_i^2+c\sum \limits _{i=1} ^n x_i^2=0
Система имеет тривиальное решение - оно вам не нужно. Подставте один неизвестный параметр (например c=1 - смотрите нет ли особенности , тогда нужно взять любой другой) и решите систему. Далее Вы можите преобразованием квадратичной формы найдти оси гиперболы, если это у Вас гипербола и все необходимое.

[Ваньша]

Спасибо за ответы.

Свел гиперболу к линейной зависимости колхозным прямым методом (из канонического уравнения), а после аппроксимировал экспериментальные точки. Счастья не получил поскольку, скорее всего, напортачил в измерениях, однако, получил громадное удовлетворение от проделанной работы. Придется менять методику измерений и мерить заново.

Тема близка к закрытию. Всем огромное спасибо за отзывчивость.
С уважением.

[photon]

Если задача стоит в собственно аппроксимации, а не в изучении, как это делается, то думаю, проще пользоваться готовыми инструментами, вроде MatLAB или Origin