Асимптотическое разложение функционального ряда

[Padawan]

В продолжение темы http://dxdy.ru/topic71297.html
Найти асимптотическое разложение функции $\varphi(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^3+x^3}$ при $x\to+\infty$.

[mihiv]

$\sum \limits _{n=2}^{\infty }\frac 1{n^3+x^3}<\int \limits _1^{\infty }\frac {dt}{t^3+x^3}<\sum _{n=1}^{\infty }\frac 1{n^3+x^3}$.
Разность между интегралом и верхней суммой меньше $\frac 1{1+x^3}=O(\frac 1{x^3})$.
Интеграл находится точно и равен: $\frac c{x^2}+O(\frac 1{x^3})$.

[sup]

В принципе, все это сводится к гамма-функции.
Пусть $\alpha=e^{2\pi i/3}$ - нетривиальный кубический корень из 1. Тогда

$\frac {1}{n^3 + x^3} = \frac {1}{3n^2} (\frac {1}{n+x} + \frac {1}{n+\alpha x} + \frac {1}{n+{\alpha}^2 x})$
Дважды используя соотношение
$\frac {1}{n(n+y)} = \frac {1}{y}(\frac {1}{n} - \frac {1}{n+y})$,
получим
$\frac {1}{n^3 + x^3} = - \frac {1}{3x^2}((\frac {1}{n} - \frac {1}{n+x}) + \alpha (\frac {1}{n} - \frac {1}{n+\alpha x}) + {\alpha}^2 (\frac {1}{n} - \frac {1}{n+{\alpha}^2 x}) )$

Осталось заметить, что
$\frac {\Gamma '}{\Gamma}(s) = - \frac {1}{s} - \gamma + \sum \limits_n (\frac {1}{n} - \frac {1}{n+s})$