Планиметрия. Какой путь выбрать?

[mad1math]

В треугольнике $ABC$ угол $A$ прямой, известно, что $AB=AC$. Прямоугольный треугольник $AMN$ с прямым углом $A$ расположен так, что $AB$ и $AN$ образуют угол $45^{\degree}$. Площадь пересечения равна $49$, а площадь объединения равна $213$. Найдите площади каждого из треугольников.

Ответ: $162$ и $100$

Сделал рисунок одной из конфигураций.



Тут окружность не к месту, но мне так удобнее было рисовать, да и обозначать. Пусть $R$ -- радиус окружности.

Я пробовал делать так: Площадь объединения выразить через $R$ и через $CD$. Получил систему из двух уравнений и двух неизвестных.

$$213=S_{\cup}=S_{OBA}+S_{M_1AN_1}-S_{DCN_1N}-S_{M_1MEC}=\dfrac{R^2}{2}+4R^4-\dfrac{2(R\sqrt{2}-DC)-DC+2\sqrt{2}R}{2}\cdot DC$$

$$49=S_{\cap}=S_{ADE}+S_{EOA}=0,5DC\cdot (\sqrt{2}R-DC)+0,5R(R-\sqr{2}DC)$$

Что-то меня эта системка не вдохновляет. Есть ли здесь какие-либо элегантные способы решения?

[provincialka]

Зачем такие сложности? На картинке куча прямоугольных равнобедренных треугольников, стороны которых легко выражаются через стороны исходных. Например, $OM=AM-AB/\sqrt2$

И почему у вас одна площадь выражена через четвертую степень?

[_Ivana]

provincialka в сообщении #717117 писал(а):

На картинке куча прямоугольных равнобедренных треугольников

, только в условии нигде не сказано, что треугольник $AMN$ равнобедренный. Это такой читерский подход - предполагать, что составитель задачи не злыдень, значит решение задачи единственно и не зависит от равнобедреноости треугольника $AMN$, значит давайте предположим что он равнобедренный, решим задачу так, выдадим ответ - если сойдется с цифрами, то и ладно

[Legioner93]

_Ivana в сообщении #717126 писал(а):

Это такой читерский подход - предполагать, что составитель задачи не злыдень, значит решение задачи единственно и не зависит от равнобедреноости треугольника

Это не только читерский, но и неверный подход (в данном случае). Если взять AN достаточно большим, то площадь пересечения не будет зависеть от него, и будет равняться половинке $S_{ABC}$, то есть $S_{ABC}=98$, тогда как нам нужно 162 или 100. Поэтому соотношение сторон весьма существенно, и совсем не факт, что оно окажется 1:1.

Задачу я вроде решил (в общем виде), моя система получилась намного проще, но численный ответ не сходится с данным. Поищу ошибку пока.

[_Ivana]

Legioner93 в сообщении #717130 писал(а):

но численный ответ не сходится с данным. Поищу ошибку пока.

Но, надеюсь, сумма площадей по вашему ответу совпадает с суммой их пересечений и объединений?

[Legioner93]

_Ivana в сообщении #717132 писал(а):

Но, надеюсь, сумма площадей по вашему ответу совпадает с суммой их пересечений и объединений?

Дело в том, что это одно из двух уравнений системы Так что конечно да.

-- Пн апр 29, 2013 10:51:25 --

Теперь у меня вообще получилось, что в задаче недостаточно данных

[_Ivana]

Legioner93 в сообщении #717133 писал(а):

Теперь у меня вообще получилось, что в задаче недостаточно данных

Но если все-таки воспользоваться предложенным ТС и описанным выше читерским методом (хотя, может просто неверно переписано условие), то все там нормально получается. В конце концов приходим к уравнению $s^2-262s+16200=0$, корнями которого получаются обе площади.

-- 29.04.2013, 10:42 --

Смотря что считать "геометрическим рассмотрением". Моожет быть, некто (превозносимый в отдельных кругах) Дьедонне, написавший школьный учебник по геометрии без единого чертежа и гордящийся этим, и предложит какой-нибудь вариант с векторами или введением системы координат, записи условий и сведения сразу к алгебраической задаче, но в моем решении некие стартовые тривиальные "геометрические рассмотрения" наличествуют, но они минимальны.

ЗЫ ну так нечестно - сначала задавать вопрос, а потом стирать свое сообщение. В следующий раз буду полностью цитировать (и пусть модераторы тогда не придираются к оверквотингу), иначе получается ответ без вопроса...

[mad1math]

Действительно, пропустил в условии слово "равнобедренной", простите за невнимательность.

-- 29.04.2013, 13:53 --

provincialka в сообщении #717117 писал(а):

И почему у вас одна площадь выражена через четвертую степень?

Это я опечатался при наборе... Должно быть так

$$213=S_{\cup}=S_{OBA}+S_{M_1AN_1}-S_{DCN_1N}-S_{M_1MEC}=\dfrac{R^2}{2}+4R^2-\dfrac{2(R\sqrt{2}-DC)-DC+2\sqrt{2}R}{2}\cdot DC$$

$$49=S_{\cap}=S_{ADE}+S_{EOA}=0,5DC\cdot (\sqrt{2}R-DC)+0,5R(R-\sqr{2}DC)$$

[_Ivana]

mad1math, ну раз вы хотите продолжать идти по вашему пути решения - так решайте вашу систему уравнений, она не настолько сложна как кажется, 2 неизвестные, присутствуют только их квадраты и произведение. Вдохновляйтесь ей (системой), приводите подобные наконец!
ЗЫ я в своем решении обозначил за неизвестные 2 других параметра, мне так было удобнее (да и окружность я не рисовал), но сам вид системы оказался такой же - а от него уже просто перейти к квадратному уравнению, которое я для своего случая написал выше.

[_Ivana]

UPD: ТС, если вы найдете и исправите 2 очевидные ошибки в вашей системе уравнений, то вы придете к правильному ответу, у вас получится $R=10, DC = 2^{1/2}$

[provincialka]

А если обозначить через $a$ сторону "северного" треугольника, а через $b$ - юговосточного, получим, что искомые площади имеют вид $a^2, b^2$, их сумма равна $213+49=262$, а сумма площадей маленьких (югозападных) треугольников равна 33.

Осталось выразить их стороны через $a,b$ и получаем систему для неизвестных $a^2, b^2$, которые и являются искомыми.

Тут не решена другая проблема: все ли возможные способы наложения треугольников мы рассмотрели?

[_Ivana]

А случаев всего 2 - как на рисунке ТС и без "перехлеста" (пересечение - треугольник). Можно рассмотреть и второй случай, если не удовлетвориться получением совпавшего ответа. Имхо весьма вероятно, что во втором случае решения может не быть.