Тетраэдр

[mak1610]

ребра тетраэдра разделили на n частей и провели через них плоскости, параллельные граням. На сколько частей разделили тетраэдр?

[gris]

Две арифметические прогрессии.
Определите, на сколько частей делится основание, первый слой снизу, второй слой снизу и так далее.
А можно и ещё проще. Все части одинаковы

[mak1610]

да, одинаковы. А почему 2 прогрессии?

[ИСН]

Вы изобрели метод заполнения пространства тетраэдрами?

[Aritaborian]

Ещё Аристотель утверждал, что это возможно ;-D

[_Ivana]

А мне треугольник Серпинского вспомнился, только в объеме, например .
ТС, решите подобную задачу сначала с треугольником на плоскости. Для $n= 2, 3, ...$, потом так же в объеме, начиная с малых $n$

[mak1610]

У меня получилась формула :
$\ 1^2 + 2^2 + ... + n^2,$

[provincialka]

mak1610 в сообщении #717045 писал(а):

У меня получилась формула :
$\ 1^2 + 2^2 + ... + n^2,$

Это не сходится с идеей, что все части равны. В таком случаеих было бы $n^3$

[mak1610]

Не, одинаковы части, на которые делятся ребра. А части пирамиды не одинаковы. Тогда в этом случае формула

mak1610 в сообщении #717045 писал(а):

У меня получилась формула :
$\ 1^2 + 2^2 + ... + n^2,$

верна?

[gris]

Если мы зафиксируем одну вершину и станем рассматривать сечения тетраэдра плоскостями, проходящими через точки деления рёбер, исходящих из этой вершины, то каждое будет делиться на 1, 4, 9 и так далее частей. И Ваша формула даёт число треугольничков, на которые делятся все $n$ сечений. Из каждого треугольничка растёт некоторое тело вверх. Но заполняют ли они весь тетраэдр?
Если мы будем рассматривать $n$ сечений, которые идут сверху вниз точно также, но немного выше, то количество плоских фигур на каждом будет в точности равно количеству объёмных тел, на которые делится соответствующий слой.
Представьте, что секущая плоскость движется вверх от основания к вершине. Как будет изменяться её рисунок? Может ли количество частей измениться на полпути до следующего сечения?

[mak1610]

Я нарисовал тетраэдр и делал разделения на n = 2,3. У меня получались 5 и 14 частей. Ведь плоскости будут проходить через отметки, которые делят ребра

[Deggial]

mak1610 в сообщении #717326 писал(а):

n = 2,3

mak1610, замечание за неоформление формул $\TeX$ом.

[mak1610]

gris в сообщении #717127 писал(а):

Если мы зафиксируем одну вершину и станем рассматривать сечения тетраэдра плоскостями, проходящими через точки деления рёбер, исходящих из этой вершины, то каждое будет делиться на 1, 4, 9 и так далее частей. И Ваша формула даёт число треугольничков, на которые делятся все $n$ сечений. Из каждого треугольничка растёт некоторое тело вверх. Но заполняют ли они весь тетраэдр?
Если мы будем рассматривать $n$ сечений, которые идут сверху вниз точно также, но немного выше, то количество плоских фигур на каждом будет в точности равно количеству объёмных тел, на которые делится соответствующий слой.
Представьте, что секущая плоскость движется вверх от основания к вершине. Как будет изменяться её рисунок? Может ли количество частей измениться на полпути до следующего сечения?

можете пояснить? Я нарисовал тетраэдр для $n = 3$. Там получается, что верхняя чать - тетраэдр, который делится плоскостями для $n = 2$. Можно учесть, что по бокам, те же тетраэдры. только у них некоторые части будут совпадать. И это нужно учесть. Может у меня ошибка в рассуждениях?

[ewert]

mak1610 в сообщении #717326 писал(а):

Я нарисовал тетраэдр и делал разделения на n = 2,3. У меня получались 5 и 14 частей.

mak1610 в сообщении #717045 писал(а):

У меня получилась формула :
$\ 1^2 + 2^2 + ... + n^2,$

Это верно. Осталось угадать, почему. Так почему?...

(мне в голову ничего незанудного -- такого, что не требовало бы ковыряния в деталях, а следовало бы сразу из каких-нибудь общих соображений -- не приходит)

[gris]

Я представлял себе секущую плоскость, параллельную "дну", которая двигается вверх от этого дна до вершины. Наклонные плоскости делят её на плоские части. Когда плоскость совпадает с одной из горизонтальных секущих плоскостей, то она оказывается разделённой на $k^2$ маленьких треугольничков, где $k$ это номер горизонтального сечения, начиная от вершины. Основание пирамиды у нас будет как бы $n$-ным горизонтальным сечением. При продвижении плоскости от сечения к сечению картинка на ней меняется, некоторые треугольнички сжимаются, некоторые превращаются в трапеции. Но количество частей не изменяется. Оно меняется скачком от $k^2$ к $(k-1)^2$ при совпадении плоскости с очередным горизонтальным сечением.
Таким образом, количество объёмных частей в $k$-том слое равно количеству плоских частей в $k$-том сечении. А общее количество частей равно вашей сумме квадратов.
Задача не зависит от вида тетраэдра, и проще рассматривать прямоугольный тетраэдр, помещённый в обычную систему координат своими перпендикулярными рёбрами.