Мат. статистика

[Julia2012]

Пожалуйста, помогите решить задачу.

Выборка произведена из генеральной совокупности, имеющей плотность распределения$p(x;\theta_{1},\theta_{2}) = \theta_{2} \cdot \exp^{(-\theta_{2} \cdot (x-\theta_{1}))}$, $x>\theta_{1}$,
$p(x;\theta_{1},\theta_{2}) =0,x<\theta_{1}$. Найти оценки параметров $\theta_{1}$ и $\theta_{2}$ методом моментов.


Я начала решать, искать информацию. Метод моментов состоит в том, чтобы приравнять теоретические моменты к эмпирическим, получить систему(из 2х в данном случае) уравнений, решить ее относительно параметров и тогда получим оценки.

Возьмем теоретический момент первого порядка - матожидание, получим:
$m(x,\theta_{1},\theta{2}) = \int_{\theta_{1}}^{\infty} x \cdot \theta_{2} \cdot \exp^{(-\theta_{2} \cdot (x-\theta_{1}))}dx = \frac{\theta_{1} \cdot \theta_{2} + 1}{\theta_2}$.

Теоретический момент второго порядка - дисперсия:
$D(x;\theta_{1},\theta_{2}) = \frac{1}{\theta_{2}}$.

Теперь нужно найти эмпирические моменты. Я так понимаю,что это выборочное среднее и выборочная дисперсия. Подскажите, пожалуйста, как их посчитать?

[GAA]

Проверьте значение дисперсии. Видимо Вы опечатались.

Просто запишите «выражения» для выборочного среднего и выборочной дисперсии
$\bar X = 1/N \sum_{i=1}^N X_i$, $S^2 = 1/N \sum_{i=1}^N (X_i - \bar X)^2$ и выражайте, как писали выше.

-- Sun 21.04.2013 14:33:20 --

Пишут: $\exp(-\theta_{2} \cdot (x-\theta_{1}))$, или $e^{-\theta_{2} \cdot (x-\theta_{1})}$

[Julia2012]

Пересчитала дисперсию:

$D = \frac{1}{\theta_{2}^2}$

-- 28.04.2013, 10:19 --

Я знаю формулы, но не могу понять, что куда подставить...(
Что подставить вместо $x$. Формулу $\theta_{2} \cdot \exp^{-\theta_{2} \cdot (x - \theta_{1})}$? Не могу это понять((. Подскажите,пожалуйста

[GAA]

Теперь наши дисперсии совпадают.

Как Вы и писали в своём сообщении, записываете
$\frac{\theta_{1} \cdot \theta_{2} + 1}{\theta_2} = \bar X$, $\frac{1}{\theta_{2}^2} = S^2$,
и ищете решение этой системы, считая $\bar X$, $S^2$ известными, а $\theta_{1}$, $\theta_{2}$ — неизвестными. Как найдете, см. конспект или методические указания, что там ещё ожидается от Вас (если ожидается): доказательство состоятельности? множества значений оценок? Если разобранных подобных упражнений нет, то я так бы и оставил. Захотели бы исследование на состоятельность, то явно потребовали бы в условии.