Изоморфные группы

[stanislav71]

Две циклические группы $C_{2,3}$ и $ C_6 $, называются изоморфными если с точностью до переобозначения их таблицы совпадают.
$C_{2,3} = <a,b|a^2=e, b^3=e, ab=ba>$
$C_6 = <a|a^6=e>$



$ C_{2,3} = (a \to a^3; b \to a^2; e \to e) = \begin{tabular}{ | l | c | c | c | r | } \hline \bullet & a^5 & a & a^2 & a^4 \\ \hline a^5 & a^4 & \bullet & a & a^3 \\ \hline a & \bullet & a^2 & a^3 & a^5 \\ \hline a^2 & a & a^3 & a^4 & \bullet \\ \hline a^4 & a^3 & a^5 & \bullet & a^2 \\ \hline \end{tabular}$



Вопрос, откуда видно, что преобразованная $C_{2,3}$ изоморфна $C_6 $ ?

[Sonic86]

stanislav71 в сообщении #715425 писал(а):

Вопрос, откуда видно, что преобразованная $C_{2,3}$ изоморфна $C_6 $ ?

У Вас есть гомоморфизм:

stanislav71 в сообщении #715425 писал(а):

$C_{2,3} = (a \to a^3; b \to a^2; e \to e)$

После этого можно рассмотреть мощность групп и все.

А таблицы Кэли так лучше не писать - зачем Вы выбросили единичный элемент?

[ИСН]

В таком виде - ниоткуда. У Вас не заходит ум за разум, глядя на эти таблицы? У меня - да.
Я это представлял как-то так. Возьмём группу порядка 6 (какую-то из этих). Найдём элемент, квадрат которого равен единице. Такой будет ровно один (кроме самой единицы). Назовём его "Третий"...

[stanislav71]

Sonic86 в сообщении #715431 писал(а):

stanislav71 в сообщении #715425 писал(а):

Вопрос, откуда видно, что преобразованная $C_{2,3}$ изоморфна $C_6 $ ?

У Вас есть гомоморфизм:

stanislav71 в сообщении #715425 писал(а):

$C_{2,3} = (a \to a^3; b \to a^2; e \to e)$

После этого можно рассмотреть мощность групп и все.

А таблицы Кэли так лучше не писать - зачем Вы выбросили единичный элемент?

Дело в том что в книге которую я читаю, понятие гомоморфизма еще не введено, но уже даётся попытка объяснить изоморфизм.
Про таблицы Кэли ничего не знаю, единичные элементы это $\bullet$.

ИСН в сообщении #715432 писал(а):

В таком виде - ниоткуда. У Вас не заходит ум за разум, глядя на эти таблицы? У меня - да.
Я это представлял как-то так. Возьмём группу порядка 6 (какую-то из этих). Найдём элемент, квадрат которого равен единице. Такой будет ровно один (кроме самой единицы). Назовём его "Третий"...

Продолжайте, мне кажется Вы не договорили

[ИСН]

Разумеется. Я это предоставил Вам. Но ладно, ещё пару шагов: найдём такие элементы, которые в кубе дают единицу. Их два. Назовём их "Второй" и "Четвёртый"; какой куда - неважно. В обеих группах они ведут себя одинаково: в квадрате дают друг друга, в произведении друг с другом - единицу, а в перемножении на "Третий" - те элементы, которые пока никак не называются. Ну вот назовём их как-нибудь, проверим, что для них тоже всё одинаково, и это и будет изоморфизм.

[stanislav71]

Есть я понял,
Спасибо Sonic86
И особенно спасибо, ИСН