Объем тела вращения

[Limit79]

Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной кривыми $y=x^2-2x+1$, $x=2$, $y=0$ вокруг оси $Oy$.

Область, которую вращаем:



$y=x^2-2x+1 \Rightarrow y=(x-1)^2 \Rightarrow x-1 = \pm \sqrt{y} \Rightarrow x = \pm \sqrt{y} + 1$

Тогда искомый объем: $V = \pi \cdot \int_{0}^{1} 2 - (\sqrt{y} + 1) dy = ... = \frac{\pi}{3}$

Вроде бы все верно, но меня смутило следующее:

Если вращать вот эту область:



То объем будет $V = \pi \cdot \int_{0}^{1} (-\sqrt{y} + 1) dy = ... = \frac{\pi}{3}$

То есть объемы будут одинаковы, но вроде, если прикинуть, то первый объем должен быть больше...

Подскажите, пожалуйста, где у меня что-то не то?

UPD: в формулах квадраты забыл.

[Someone]

Limit79 в сообщении #715171 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, где у меня что-то не то?

Формула неправильная.
Объём тела, образованного вращением вокруг оси $Oy$ области

$$\mathscr D:\begin{cases}0\leqslant a\leqslant x\leqslant b,\\ y_1(x)\leqslant y\leqslant y_2(x),\end{cases}$$

находится по формуле

$$V=2\pi\int_a^bx(y_2(x)-y_1(x))dx.$$

[Limit79]

Someone
Большое спасибо!

Но не могу понять, почему нельзя использовать ту формулу,которую использовал я, то есть искомый объем это разность объема цилиндра и второй фигуры... или это связано с тем, что вершина параболы не в нуле?

-- 24.04.2013, 22:03 --

Эх, я в формулах квадраты забыл:

$V = \pi \cdot \int_{0}^{1} (2 - (\sqrt{y} + 1))^2 dy = ... = \frac{7\pi}{6}$

Someone
Этот результат совпадает с результатом, полученным по формуле, которую написали Вы. Теперь я еще больше не понимаю: почему нельзя использовать эту формулу $V = \pi \cdot \int_{a}^{b} x^2(y) dy$?

[Someone]

Объём тела, образованного вращением вокруг оси $Oy$ области

$$\mathscr D:\begin{cases}c\leqslant y\leqslant d,\\0\leqslant x_1(y)\leqslant x\leqslant x_2(y),\end{cases}$$

находится по формуле

$$V=\pi\int_c^d(x_2^2(y)-x_1^2(y))dy.$$

[Limit79]

Someone
Так это уже следствие из общей формулы.

Спасибо за помощь!

[_Ivana]

Да, как предел суммы объемов горизонтально нарезанных колец. И имхо, во втором случае вы тоже квадрат забыли.

[Limit79]

_Ivana
Ага, там каждое слагаемое будет в квадрате, а не квадрат их разности.