помогите решить задачу на сложение вероятностей

[voipp]

помогите решить задачу
Дано 7 писем и 7 концертов. Письма случайно раскладываются по конвертам. Какова вероятность , что только 1 письмо дойдет до адресата.
Я посчитал вероятность , что не дойдут все N писем из N . Она равна 1 минус разложение $e$ до N порядка включительно. Для $N=6$ $P=53/144$
Для своей задачи рассуждаю так: $A_{i}$ событие, что только $i-тое$ письмо дойдет.
Фиксируем его а остальные размещаем в 6 оставшихся конвертах по формуле выше. Но ведь вероятность что не дойдет только 1 равна $P= P(A_{1}+...+A_{7})=P(A_{1})+...+P(A_{7})$, выходит что надо умножить 7 на вероятность выше, тогда она станет больше 1 ! Где противоречие ?

[Toucan]

Тема перемещена в Карантин.

Измените заголовок темы на более информативный.

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.

[AKM]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[provincialka]

Здесь не сумма, а формула полной вероятности. Гипотеза $H_i$ состоит в том, что $i$-ое письмо попадет в свой конверт. Чему равна ее вероятность?

Можно проверить это и через классическое определение, через подсчет вариантов. То есть сами варианты считать не надо, просто запишите исследуемые вероятности в таком виде.

[--mS--]

voipp в сообщении #714329 писал(а):

Фиксируем его а остальные размещаем в 6 оставшихся конвертах по формуле выше. Но ведь вероятность что не дойдет только 1 равна $P= P(A_{1}+...+A_{7})=P(A_{1})+...+P(A_{7})$, выходит что надо умножить 7 на вероятность выше, тогда она станет больше 1 !

На одну седьмую забыли умножить - вероятность, что $i$-е письмо попадёт в свой конверт:

$$\mathsf P(A_i) = \mathsf P(i\text{-е - в свой, остальные - нет}) = \mathsf P(1\text{-е в свой})\mathsf P(2,3,\ldots, 7\text{-е - не в свои}) = \frac17\,\cdot \,\frac{53}{144}. $$

[TOTAL]

--mS-- в сообщении #714576 писал(а):

На одну седьмую забыли умножить - вероятность, что $i$-е письмо попадёт в свой конверт:

$$\mathsf P(A_i) = \mathsf P(i\text{-е - в свой, остальные - нет}) = \mathsf P(1\text{-е в свой})\mathsf P(2,3,\ldots, 7\text{-е - не в свои}) = \frac17\,\cdot \,\frac{53}{144}. $$

Т.к. письмо, попавшее в свой конверт, может быть любым, затем надо умножить на семь. Итого, $\frac{53}{144}.$

[voipp]

спасибо!

[--mS--]

TOTAL в сообщении #714585 писал(а):

Т.к. письмо, попавшее в свой конверт, может быть любым, затем надо умножить на семь. Итого, $\frac{53}{144}.$

Как бы ТС изначально в курсе

[voipp]

а вот продолжение этой задачи : найти вероятность, что только 2 письма попадут. Я думал вот так:
события, что $(i,j)$ письма дойдут $A_{i,j}, i<j \ \ i,j=1..7$ равна $ \frac {\ 1} {\ C_{6}^2}$. А таких пар у нас $C_{6}^2$, далее вероятность , что 5 из 5 не дойдут до адреса равна $\frac {11}{30}$. Умножаем все и получаем $\frac {11}{30}$ а в ответе $\frac {11}{60}$. Я принципиально этот тервер не понимаю

[--mS--]

voipp в сообщении #714734 писал(а):

Я думал вот так:
события, что $(i,j)$ письма дойдут $A_{i,j}, i<j \ \ i,j=1..7$ равна $ \frac {\ 1} {\ C_{6}^2}$.

Во-первых, почему из $6$? Во-вторых, вероятность не равна $\frac{1}{C_7^2}$. Подумайте, почему.

[voipp]

--mS-- в сообщении #714739 писал(а):

voipp в сообщении #714734 писал(а):

Я думал вот так:
события, что $(i,j)$ письма дойдут $A_{i,j}, i<j \ \ i,j=1..7$ равна $ \frac {\ 1} {\ C_{6}^2}$.

Во-первых, почему из $6$? Во-вторых, вероятность не равна $\frac{1}{C_7^2}$. Подумайте, почему.

вероятность там будет двух зависимых событий, поэтому $\frac{1}{7\cdot6}$. Далее все сходится , спасибо.
Но вот что меня смущает. Почему нельзя действовать "по определению" , подсчитать элементарные исходы удовлетворяющие событию - всего 1 ! а возможных исходов - $C_7^2$. И поделить.

[provincialka]

voipp в сообщении #714813 писал(а):

Но вот что меня смущает. Почему нельзя действовать "по определению" , подсчитать элементарные исходы удовлетворяющие событию - всего 1 ! а возможных исходов - $C_7^2$. И поделить.

Бывает $C_n^m$, а бывает и $A_n^m$. У Вас что получилось?

Если сомневаетесь, можете посчитать так. Пусть $m$ - число способов полностью перепутать 5 конвертов. Тогда вероятность этого (если всего конвертов 5) равна ${m\over 5!}=p, m=p\cdot 5!$. Если же конвертов 7, то число возможных вариантов становится равным $C_7^2m={7\cdot6\over2}p 5!$. Осталось поделить это выоажение на $7!$

-- 24.04.2013, 01:15 --

provincialka в сообщении #714436 писал(а):

Здесь не сумма, а формула полной вероятности. Гипотеза $H_i$ состоит в том, что $i$-ое письмо попадет в свой конверт. Чему равна ее вероятность?

Я предложила этот способ, особо не задумываясь. И он дает правильный ответ.
Но можноли здесь применять эту схему? Или это случайное совпадение?

[iifat]

voipp в сообщении #714813 писал(а):

Почему нельзя действовать "по определению" , подсчитать элементарные исходы удовлетворяющие событию - всего 1 ! а возможных исходов - $C_7^2$. И поделить.

Там действительно факториал единицы, или это описка какая-нить?
"По определению" -- разумеется, можно. Если правильно подсчитать количество возможных рвновероятных исходов и количество удовлетворяющих событию, то всё, что останется -- поделить одно на другое.

[--mS--]

voipp в сообщении #714813 писал(а):

Но вот что меня смущает. Почему нельзя действовать "по определению" , подсчитать элементарные исходы удовлетворяющие событию - всего 1 ! а возможных исходов - $C_7^2$. И поделить.

А чем $\frac{1}{7\cdot 6}=\frac{1}{A_7^2}$ не по определению? Почему в Вашем локальном пространстве исходов $C_7^2$ штук? Разве всё равно, попадёт $i$-е письмо в $3$ конверт, $j$-е - в $5$-й, или наоборот? В таком случае при размещении всех семи писем исходов будет не $7!$, а вообще один

provincialka в сообщении #714825 писал(а):

Но можноли здесь применять эту схему? Или это случайное совпадение?

Стоит, наверное, посмотреть, кем должны быть гипотезы в формуле полной вероятности. Как минимум, набором попарно несовместных событий. Так что при таком наборе "гипотез" правильный ответ - чистое везение. Событие $A$ обеспечило совпадение. При другом $A$ с такими гипотезами будет абсурд. Возьмите $A$ - хотя бы одно письмо попало в свой конверт и проверьте.

-- Ср апр 24, 2013 12:12:28 --

(Оффтоп)

iifat в сообщении #714827 писал(а):

Там действительно факториал единицы, или это описка какая-нить?

Ну, в принципе факториал там тоже объясним

[provincialka]

--mS-- в сообщении #714860 писал(а):

Стоит, наверное, посмотреть, кем должны быть гипотезы в формуле полной вероятности. Как минимум, набором попарно несовместных событий. Так что при таком наборе "гипотез" правильный ответ - чистое везение. Событие обеспечило совпадение. При другом с такими гипотезами будет абсурд. Возьмите - хотя бы одно письмо попало в свой конверт и проверьте.

Здесь, наверное, не гипотезы вообще, а просто представление одного события через другие. Хотя все это как-то зыбко. Через число вариантов надежнее.

Рассмотрим общий случай, $m$ писем попало в нужные конверты, $k = n-m$ - полностью перепутаны. Пусть $p_k$ вероятность полностью перепутать $k$ конвертов. Тогда искомая вероятность равна $C_n^m{p_k\cdot k!\over n!}$, что совпадает с ${C_n^m\over A_n^m}p_k = {p_k\over m!}$.

Вот интересно, можно ли как-то интерпретировать этот множитель ${1\over m!}$ как вероятность некоего события?